指数增长和衰减
神奇的指数增长！
想象有一棵神奇的树。
高度（mm） = ex
- 一岁大时，它有：e1 = 2.7 mm 高……非常矮小！
- 五岁时，它有：e5 = 148 mm 高……大概一个杯子那么高
- 十岁：e10 = 22 m 高……房子那么高
- 十五岁：e15 = 3.3 km 高……比巴黎铁塔高十倍
- 二十岁：e20 = 485 km 高……到外太空了！
没有树能长这么高！
所以当人家说："以指数级增长"……你需要想想那究竟是什么意思。
但有时物体真的可以以指数级增长（或相反：衰减），至少在一段时间里可以。
有一个有用的通用公式：
y(t) = a × ekt
其中： y(t) = 时间等于 "t"时的值
a = 开始的值
k = 增长率（>0）或 衰减（<0）
t = 时间
例子：2个月前你有3只小老鼠，现在你有18只。
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假设数目一直按这个速度增长
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从这公式开始：
y(t) = a × ekt
我们知道a=3只小老鼠，t=2个月，并且现在 y(2)=18只小老鼠：
18 = 3 × e2k
用代数来解 k：
| 每边除以 3： | 6 = e2k | |
| 取每边的自然对数： | ln(6) = ln(e2k) | |
| ln(ex)=x，故此： | ln(6) = 2k | |
| 重排： | k = ln(6)/2 |
（注意：k ≈ 0.896，但最好是把它一直保留在 ln(6)/2 的格式，直到最后的计算。）
我们想知道再过两个月（当 t=4个月）及一年后（t=14个月），小老鼠的数量是多少:
y(4) = 3 e(ln(6)/2)×4 = 108
y(14) = 3 e(ln(6)/2)×14 = 839,808
哈！很多小老鼠！你打算怎样喂它们？
指数衰减
有些东西以指数级"衰减"（减少）。
例子：大气压（你周围的空气的压力）随着海拔高度而减小。
每 1000米它以指数衰减大约 12%。
在海平面，大气压是大约 1013 hPa （与天气有关）。
- 写下公式，包括（"k"值在内），
- 求在美国帝国大厦屋顶（381米）的大气压，
- 和在珠穆朗玛峰顶 (8848米）的大气压
从这个公式开始：
y(t) = a × ekt
我们知道
- a（海平面的大气压） = 1013 hPa
- t 的单位是米（距离，不是时间，但公式仍然适用）
- y(1000) 是 1013 hPa 减少了 12%= 891.44 hPa
所以：
891.44 = 1013 ek×1000
用代数来解 k：
| 每边除以 1013： | 0.88 = e1000k | |
| 我们知道 | ln(0.88) = ln(e1000k) | |
| ln(ex)=x，故此： | ln(0.88) = 1000k | |
| 重排： | k = ln(0.88)/1000 |
解了 "k"，我们可以写成：
y(t) = 1013 e(ln(0.88)/1000)×t
现在我们可以计算在 381米 和 8848米的大气压：
y(381) = 1013 e(ln(0.88)/1000)×381 = 965 hPa
y(8848) = 1013 e(ln(0.88)/1000)×8848 = 327 hPa
（在珠穆朗玛峰顶的实际大气压是大约 337 hPa……我们的计算不赖！）