代数基本定理

例子：求 x² − 9 的根。

x² − 9 的次数是 2（x 的最大指数是 2），所以有2个根。

现在我们解它。多项式要等于零：

先把 -9 移到另一边：

每边取平方根：

故此，根是 −3 和 +3

例子： x² − 9

根是 r₁ = −3 和 r₂ = +3 （如上），所以因式是：

（在这个例子中，a等于1，所以我没写下来）

线性因式是 (x+3) 和 (x−3)

例子： 3x² − 12

次数是 2，所以有 2 个根。

现在我们解它。多项式要等于零：

3 和 12 有一个公因数 3：

解 x² - 4：把 -4 移到右边，然后取平方根：

故此，因式是：

3x² − 12 = 3(x+2)(x−2)

例子： 3x² − 18x + 24

次数是 2，所以有 2 个根。

3x² − 18x + 24 = a(x−r₁)(x−r₂)

我知道因式会分解成这样：

3x² − 18x + 24 = 3(x−2)(x−4)

故此，根（零）是：

• +2
• +4

检验：

3(2)² − 18(2) + 24 = 12 − 36 + 24 = 0

3(4)² − 18(4) + 24 = 48 − 72 + 24 = 0

对了！在 x = +2 及 x = +4，多项式是 0

例子： x²-x+1

能使它等于零吗？

x²-x+1 = 0

用二次方程解算器，得到的答案是（保留3位小数）：

这是复数！但是正确的答案。

故此，因式是：

x²-x+1 = ( x - (0.5-0.866i ) )( x - (0.5+0.866i ) )

例子： x²-x+1

的根是：

例子： 3x-6

次数是 1。

只有一个实数根

根是 +2：

:

你可以看到线在某点与 x轴交叉。

例子： x³-1

x³-1 = (x-1)(x²+x+1)

分解成：

• 1 线性因式： (x-1)
• 1 不可约二次式： (x²+x+1)

要想继续分解 (x²+x+1)，我们需要用复数，所以它是个 "不可约二次式"

例子： 2x²+3x+5

a = 2、b = 3、c = 5:

b² - 4ac = 3² - 4×2×5 = 9-40 = -31

判别式是负数，所以这是个 "不可约二次式"

例子： x²-6x+9

x²-6x+9 = (x-3)(x-3)

"(x-3)" 出现两次，所以 "3" 这个根的重数是 2

例子： x⁴+x³

应该有 4 个根（和 4 个因式），对不？

因式分解很容易，只需把 x³ 分解出来：

x⁴+x³ = x³(x+1) = x·x·x·(x+1)

有 4 个因式， "x" 重复 3 次。

但乍看只有 2 个根，在 x=-1 和 x=0：

但若我们把重根也算在内，我们便有 4 个根：

• "x" 出现 3 次，所以 "0" 这个根的 重数是 3
• "x+1" 支出项一次，所以 "-1" 这个根的 重数是 1

根的总数 = 3+1 = 4