介值定理

介值定理(又名中值定理)背后的概念是:

介值 A 到 B  

当连续的曲线连接着两点

  • 一点在直线下面
  • 另一点在线上面

。。。。。。则曲线会在至少一个地方通过直线!

这还用说,当然要通过直线才能从A去到B!

介绍了理念后,我们来看细节。

连续

曲线一定要是连续的。。。。。。没有间断。

连续在微积分中是个专有名词,有精确的定义,但在这里我们用一个简单的定义:

铅笔可以笔不离纸画出来

比较正式一点

这是比较正式的描述:

中间值 A 到 B 在 (c,w) 交叉  

若:

  • 曲线是函数 y = f(x)
  • 函数在区间[a, b] 里是连续的,
  • w是在 f(a) 与 f(b)之间的数,
    则。。。。。。

。。。。。。在 [a, b] 里至少有一个值 c,而使 f(c) = w

换句话说,函数 y = f(x) 在某一点一定符合 w = f(c)

注意:

至少有一个

定理也说:"至少有一个值 c",就是说可能会有更多。

这例子有3点是 f(x)=w。

  中间值 A 到 B 3点通过

有什么用?

每当我们知道:

我们便可以说: "中间有一点是刚好在线上"。

例子:在 x=0 和 x=2 之间有 x5 - 2x3 - 2 = 0 的解吗?

当 x=0:

05 - 2 × 03 - 2 = -2

 

当 x=2:

25 - 2 × 23 - 2 = 14

现在我们知道:

这是个多项式,所以曲线一定是连续的,

故此,在中间某一点,曲线一定通过 y=0

 

有,在 [0, 2] 这区间里有个 x5 - 2x3 - 2 = 0 的解

这个挺有趣

介值定理能修补不稳的桌子

中间值不稳桌子

若你的桌子因为地面不平而放不稳。。。。。。

。。。。。。你只需转转桌子就可以解决问题!

但地面一定要是连续的(相当平滑)。

为什么这方法有效?

桌子一定会有三只脚在地上,和使桌子不稳的是第四只脚。

想象我们在转桌子,第四只脚插进地下了(假想是在沙滩上):

所以在某一点它一定会刚好接触地面,而在这一点桌子就会放稳。

(著名的科学作家 Martin Gardner 在《科学美国人》曾经提及这个例子,文献里也有一个复杂的论证)。

再来一个

农村漫步
在一个往返的旅程里,你一定会
经过与起点是相同海拔的地方。

(但起点必须不是全程的最高点或最低点。)

理念是:

所以在这两点之间一定会有一点的海拔与起点是刚好相同的,但你的路程必须是连续的,你不能中途离开然后在另一点回来。

同样的道理也可以应用于温度、压力等等。

还有更多!

若你跟随一个圆形的路线。。。。。。在这圆形上会有些地方:

中间值圆路线相对
两点
直接相对海拔相同