矩阵的行列式

矩阵的行列式是一个可以从方形矩阵(方阵)计算出来的特别的数

矩阵是数的排列:

矩阵
矩阵
(这矩阵有2行和2列)

这矩阵的行列式是(待会儿会解释计算方法):

3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14

用来干什么的?

行列式告诉我们矩阵的一些特性,这些特性对解线性方程组很有用,也可以帮我们找逆矩阵,并且在微积分及其他领域都很有用.

符号

行列式的符号是每边一条垂直线。

例子:

|A|代表矩阵 A的行列式

(和绝对值的符号一模一样。)

计算行列式

首先,矩阵一定要是方形矩阵(就是,行和列的数目相同)。计算方法其实很简单,只不过是基本的算术,如下:

2×2 矩阵

2×2 矩阵 (2行和2列):

矩阵

行列式是:

|A| = ad - bc
"A 的行列式等于 a 乘 d 减 b 乘 c"

把公式记住的窍门是想:十字乘法:

  • 蓝色 是 正 (+ad),
  • 红色 是 负 (-bc)
  矩阵

例子:

矩阵

|B| = 4×8 - 6×3
  = 32-18
  = 14

 

3×3 矩阵

3×3 矩阵 (3行和3列):

矩阵

行列式是:

|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
"A 的行列式等于。。。。。。"

乍看很复杂,但这是有规律的

矩阵

3×3 矩阵的行列式:

公式是(记着两边的垂直线 || 代表 "的行列式")

矩阵
"A 的行列式等于 a 乘 。。。。。。的行列式。。。。。。"

例子:

矩阵

|C| = 6×(-2×7 - 5×8) - 1×(4×7 - 5×2) + 1×(4×8 - -2×2)
  = 6×(-54) - 1×(18) + 1×(36)
  = -306

4×4 和更大的矩阵

同一规律也适用于 4×4 矩阵:

矩阵

公式是:

矩阵

留意 + - + - 的规律(+a 。。。-b 。。。+c 。。。-d 。。。)。 这很重要,要牢记。

 

同样的规律也适用于5×5 和更大的矩阵,但通常最好是用矩阵计算器来处理大的矩阵!

 

并非唯一的方法

这个计算放法叫 "拉普拉斯展开"。。。。。。我喜欢它,因为规律容易记。但亦有其他的计算方法(我只想你知道)。

总结