部分和

部分和是数列部分

例子:

这是偶数的数列:{2、4、6、8、10、12……}

这是头四项的部分和2+4+6+8 = 20

来看看较严谨的定义:

(数)列是顺序排列的物件(通常是数)。

数列

部分和是数列的部分的和。

 

(注意:无穷的项的和是无穷级数

词汇:部分和也称为"有穷级数".

 

Sigma

部分和通常是用Σ(希腊字母,英语音译:Sigma、中文音译:西格马)来代表 "把它们加起来":

Σ   这符号(英语叫 Sigma)的意思是"加起来"

所以Σ就是把东西加起来……

加什么?

把 Sigma 符号后的东西加起来:

 
Σ
n
    所以我们把 n 加在一起

n 的值是多少?

值在 Sigma 符号的
下面和上面显示:

 
4
Σ
n=1
n
    这说:n 是从 1 到 4,
就是 1234

好了,我们来算……

我们把 1、2、3 和 4 加起来:

 
4
Σ
n=1
n = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

图示:

Sigma记法

更强大

Σ 能做更强大的事!

我们可以算 n 的平方,然后把结果相加:

4
Σ
n=1
n2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30

 

我们可以把数列 2n+1 的头四项加起来:

4
Σ
n=1
(2n+1) = 3 + 5 + 7 + 9 = 24

 

我们可以用其他的字母,以下我们用 i,把 i × (i+1) 加起来,从 13

3
Σ
i=1
i(i+1) = 1×2 + 2×3 + 3×4 = 20

 

我们并且可以从任何的数开始和完结。以下是从 35

5
Σ
i=3
i i + 1 = 3 4 + 4 5 + 5 6

特性

部分和有一些很有用的特性。

乘以常数特性

假设我们要把 ak加起来

ak 可以是 k2k(k-7)+2 或……什么都可以

c 是个常数(像 2-9.1 等),则:

Sigma

换句话说:若把相加的每一项都乘以一个常数,我们可以把常数"移" 到 sigma 符号外面。

例子:

Sigma

除了把 6k2 相加,我们亦可以把 k2 相加,然后把结果乘以 6

 

加或减特性

还有一个有用的特性:

Sigma

若我们要把两个项的和加起来,我们可以先把每项独自加起来,然后再把结果相加

例子:

Sigma

先把每项独自分开加起来然后再把结果相加会比较容易。

两项相减也一样:

Sigma

有用的捷径

以下是一些可以使计算数列的和容易很多的窍门。

我们要从 1 加到 n

Sigma   1 加起来,结果是 n
Sigma   把常数 c 加起来,结果是 cn
Sigma   k 加起来的的捷径
Sigma   k2 加起来的的捷径
Sigma   k3 加起来的捷径

活学活用:

例子:你卖园艺砖头。

有个顾客想买放成像"金字塔"形状的一堆砖头。那堆砖头有 14层高。

总共有几块砖头?

Sigma

每层是一个正方形,所以是这样算:

12 + 22 + 32 + ... + 142

但这可以简单地写为:

Sigma

我们用上面的捷径, k2 的公式:

Sigma

这比把 12 + 22 + 32 + ... + 142逐项加起来快多了。

以下是更复杂的例子:

例子:顾客要讲价。

顾客说在外面的砖头要便宜点,因为它们比较肮脏。

你还他的价:

  • 外面的砖头 ¥7 一块
  • 里面的 ¥11 一块。

总共是多少钱?

Sigma

每层(第一层除外)"里面"的砖头和"外面"的砖头的数目是:

  • 外面的砖头 = 4×(层的一边的大小 - 1)
  • 里面的砖头 = (层的一边的大小 - 2)2

所以每层的价钱是:

  • 价钱(外面的砖头) = ¥7 × 4(层的一边的大小 - 1)
  • 价钱(里面的砖头) = ¥11 × (层的一边的大小 - 2)2

除了第一层以外,其他所有层的价钱总和是:

Sigma

算出总和的式子后,我们可以简化计算的程序!

 

用"加特性":

Sigma

用"乘以常数特性":

Sigma

不错……但我们不能用上面的捷径,因为我们是从 i=2 开始,而不是从 i=1 开始

可是,若我们建立两个新变量:

  • j = i-1
  • k = i-2

我们得到;

Sigma

(我不算 k=0,因为 02=0)

 

现在我们可以用捷径了:

Sigma

做了一些简单计算后:

$7 × 364 + $11 × 650 = $9,698.00

还有!别忘了第一层(一块砖)。你赚够了,送给他吧!

 

注意:去检测答案,我们把 "外面"的砖和"里面"的砖和最顶的一块加起来,我们得到

364 + 650 + 1 = 1015

这和上面算出来的"砖头的数目"是相同的……厉害!