多项式：根的和与积
在这里，我想和你分享一些关于多项式的根的趣事……
- 把根相加会怎么样？
- 把根相乘会怎么样？
多项式的根
"根" （或 "零点"）是多项式等于零的地方：
因式
拿一个多项式：
f(x) = ax4 + bx3 + ……
把它分解为因式：
f(x) = a(x−p)(x−q)(x−r)……，
那么 p、q、r 等便是多项式的根（多项式等于零的地方）
二次式
我们用 二次式（变量的最大指数为 2）来试试看:
ax2 + bx + c
若根是 p 和 q，二次式,可以写成：
a(x−p)(x−q)
p、q 和 a、b、c有关联吗？
展开它，把 (x−p) 乘以 (x−q)：
a(x−p)(x−q)
= a( x2 − px − qx + pq )
= ax2 − a(p+q)x + apq
| 二项式： | ax2 | +bx | +c |
| 因式展开后： | ax2 | −a(p+q)x | +apq |
可以看到 −a(p+q)x = bx，所以：
apq = c，所以：
我们得到这个简单的结果：
- 根的和是 −b/a
- 根的积是 c/a
我们可以用这个事实来解答一些问题。
例子：根是 5 + √2 和 5 − √2 的方程是什么？
根的和是 (5 + √2) + (5 − √2) = 10
根的积是 (5 + √2) (5 − √2) = 25 − 2 = 23
我们想要的是像这样的方程：
ax2 + bx + c = 0
当 a=1 时：
- 根的和 = −b/a = -b
- 根的积 = c/a = c
结果是
x2 − （根的和）x + （根的积） = 0
最后的结果是：
x2 − 10x + 23 = 0
这是多项式的图：
三次式
现在我们来看看一个三次式：
ax3 + bx2 + cx + d
和二次式一样，我们先来分解因式：
a(x−p)(x−q)(x−r)
= ax3 − a(p+q+r)x2 + a(pq+pr+qr)x − a(pqr)
比较：
| 三次式： | ax3 | +bx2 | +cx | +d |
| 因式展开后： | ax3 | −a(p+q+r)x2 | +a(pq+pr+qr)x | −apqr |
可以看到 −a(p+q+r)x2 = bx2，所以：
−apqr = d，所以：
这有意思……和上面差不多：
- 根的和是 −b/a （和二次式一模一样）
- 根的积是 −d/a （和二次式差不多）
（我们也得到 pq+pr+qr = c/a，这也可能有用。）
更高次数的多项式
更高次数的多项式的规律也一样。
一般来说：
- 根的和是 −b/a
- 根的积是 （"z" 是在最后的常数）：
- z/a （偶次数的多项式，例如二次式）
- −z/a （奇次数的多项式，例如三次式）