线性方程组矩阵解法

 

看这网页前，请先了解线性方程组 和 矩阵.

例子

在线性方程组网页上的一个例子是：

我们在那个网页用"消元法"去解……但我们也可以用矩阵！

用矩阵来解其实比较容易，因为我们可以用电脑程序（例如 矩阵计算器）来做所有"繁复的运算".

当然，我们首先需要把题写成矩阵形式。

矩阵形式？

矩阵是数的排列，对不对？

矩阵

看看以下的方程式：

x	+	y	+	z	=	6
		2y	+	5z	=	-4
2x	+	5y	-	z	=	27

这组方程式可以写成一排列的数：

1		1		1	=	6
0		2		5	=	-4
2		5		-1	=	27

再进一步，我们可以把在 "=" 两边的数分开：

1	1	1		6
0	2	5	和	-4
2	5	-1		27

现在看上去好像两个矩阵。

其实还有一个矩阵，就是 [x y z]。基于矩阵乘法（见 矩阵乘法），我们应该这样写：

我们知道 x + y + z = 6 等等资料，所以方程组可以写成：

酷！

矩阵解法

把这三个矩阵称为 "A", "X" 和 "B"，方程组便是：

AX = B

其中：

• A 是 x，y 和 z 的系数的 3x3 的矩阵
• X 是 x，y 和 z，
• B 是 6，-4 和 27

答案（参见 逆矩阵）的公式是：

X = A^-1B

这个公式的意思是：x、y 和 z 的值（X 矩阵）等于A 矩阵的逆乘以B 矩阵。

现在我们用这个来解方程组.

首先要求A 矩阵的逆（假设它存在！）

用矩阵计算器，结果是：

（我把 1/行列式 放在矩阵外面，这样矩阵里面的数便可以简单点）

然后把A^-1 乘以 B （也是用矩阵计算器）：

做好了！解是：

x = 5、y = 3 和 z = -2

和在 线性方程组 网页里算出来的一样。

这是个干净利落和优雅的解法，并且：人来想，电脑来做。

 

好玩吗？……再来一遍！

这次把矩阵 "X" 放在前面。

很多人以为上面的做法是唯一的做法，但其实也可以按照以下的方法来做。

这样：

XA = B

因为矩阵特别的乘法，我们要用另一个形式来写下矩阵。我们需要把行和列对调（"转置"）：

XA = B 像这样：

矩阵解法

答案是（也参见逆矩阵）：

X = BA^-1

A^-1是：

和上面的逆矩阵差不多，但是转置（行与列对调）了。

接下来把 B 乘以 A^-1：:

答案和上面的一样：

x = 5、y = 3 和 z = -2

这方法没有那么整齐，但仍然算出了正确的答案。矩阵方程通常可以用不同的方法来解，但我们要小心不要把行和列弄错！