余弦定理
余弦定理对解三角形是非常有用的：
这定理适用于任何三角形：
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a、b 和 c 是三角形的边。 C 边 c 的对角 |
我们举个例来看看：
例子："c" 的长度是多少？
已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11
| 余弦定理说： | c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) | |
| 代入已知值： | c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º) | |
| 计算： | c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798… | |
| 计算： | c2 = 44.44... | |
| 开平方： | c = √44.44 = 6.67 保留两位小数 |
答案：c = 6.67
怎样记
怎样去记这公式呢？
公式其实是在 勾股定理 上多加一点，使其适用于所有的三角形：
| 勾股定理： | a2 + b2 = c2 | （只适用于直角三角形） | ||
| 余弦定理: | a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2 | （适用于所有三角形） |
这样记：
- 想英语字母 "abc"：a2 + b2 = c2,
- 再来一个 "abc"： 2ab cos(C),
- 放在一起：a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2
什么时候用
在以下的情形，我们可以用余弦定理：
- 已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边（像上面的例子）
- 已知三角形的三边，求其角度（如以下的例子）
例子：角 "C" 是多大？
长度为 "8" 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。
把已知值代入余弦定理：:
| 开始： | c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) | |
| 代入 a、b 和 c： | 82 = 92 + 52 − 2 × 9 × 5 × cos(C) | |
| Calculate: | 64 = 81 + 25 − 90 × cos(C) | |
| 重排及解: | ||
| 每边减 25： | 39 = 81 − 90 × cos(C) | |
| 每边减 81： | −42 = −90 × cos(C) | |
| 两边对调： | −90 × cos(C) = −42 | |
| 除以 −90： | cos(C) = 42/90 | |
| 取逆余弦： | C = cos-1(42/90) | |
| 用计算器： | C = 62.2° （保留一位小数） | |
其他形式
求角度的简易形式
上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 "直接" 公式会比较简单（公式只不过是重排这公式： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) ）。公式可以有三个形式：
cos(C) = a2 + b2 − c2 2ab
cos(A) = b2 + c2 − a2 2bc
cos(B) = c2 + a2 − b2 2ca
例子：用余弦定理（角度形式）来求角 "C"
已知三边：
- a = 8,
- b = 6 和
- c = 7。
用余弦定理（角度形式）来求角 C：
| cos C | = (a2 + b2 − c2)/2ab |
| = (82 + 62 − 72)/2×8×6 | |
| = (64 + 36 − 49)/96 | |
| = 51/96 | |
| = 0.53125 | |
| C | = cos-1(0.53125) |
| = 57.9° 保留一位小数 |
a、b 和 c 的形式
你也可以重写 c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) 公式为 "a2=" and "b2=" 的形式。
以下是这三个形式：
但最容易是记着 "c2=" 的形式，然后在应用时用不同的字母！
如下：
例子：求长度 "z"
字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c
| 开始： | c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) | |
| x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c | z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z) | |
| 代入已知值： | z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º) | |
| 计算： | z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...) | |
| z2 = 130.61 + 80.17…… | ||
| z2 = 210.78…… | ||
| z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数。 |
答案：z = 14.5
留意到 cos(131º) 是负数吗？这把最后的正负号变成 +（正）号了。钝角的余弦一定是负数（见 单位圆）。