正弦定理

正弦定理(或称正弦定律)对解三角形非常有用:

a sin A = b sin B = c sin C

它适用于任何三角形:

三角形

abc 是边。

ABC 是角。

(边 a 对着 角 A、
边 b 对着 角 B,
边 c 对着 角 C)。

定理说:

边 a 的长度 除以 角 A 的正弦
等于 边 b 的长度 除以 角 B 的正弦,
也等于 边 c 的长度 除以 角 C 的正弦

?????

好,我们用一个三角形来计算一下:

5,8,9 三角形

a sin A = 8 sin(62.2°) = 8 0.885…… = 9.04……

b sin B = 5 sin(33.5°) = 5 0.552…… = 9.06……

c sin C = 9 sin(84.3°) = 9 0.995…… = 9.05……

答案都差不多是相同的!
(若我们的计算有完全的准确度,答案便会是完全相同的)。

你可以看到:

a sin A = b sin B = c sin C

有什么用?

举个例看看:

例子:求 边 "c" 的 长度

三角形 35 度,105 度, 7

正弦定理   a/sin A = b/sin B = c/sin C
     
代入已知值:   a/sin A = 7/sin(35°) = c/sin(105°)
     
拿走 a/sin A (在这里没用):   7/sin(35°) = c/sin(105°)
     
用代数来重排及解
     
换边:   c/sin(105°) = 7/sin(35°)
     
每边乘以 sin(105°):   c = ( 7 / sin(35°) ) × sin(105°)
     
计算:   c = ( 7 / 0.574…… ) × 0.966……
计算:   c = 11.8 (保留一个小数位)

求未知角度

在上面的例子,我们求未知边长……

……但我们也可以用正弦定理来求未知角度

求角度时,最好把分数倒转(把 a/sin A 变成 sin A/a,等等):

sin A a = sin B b = sin C c

例子:求 角 B

三角形 63 度,4.7,5.5

开始:   sin A / a = sin B / b = sin C / c
     
代入已知值:   sin A / a = sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
     
拿走 "sin A / a":   sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
     
每边乘以 4.7:   sin B = (sin(63°)/5.5) × 4.7
计算:   sin B = 0.7614……
     
反正弦:   B = sin-1(0.7614……)
    B = 49.6°

 

有时会有两个答案!

我们要注意一个微妙的细节:

可能有两个答案。

正弦定理含糊情况

假设我们知道 角 A 和 边 ab

我们可以把边 a 放在左边或右边(如图),从而得到两个结果(一个小三角形和一个大三角形)

两个答案都是对的!

 

这只会在 "两边和 夹角" 的情形发生,亦不会一定发生,但我们仍然需要留意。

想: "我可以把那条边放到另一边来得到另一个正确的答案吗?"

 

例子:求 角 R

三角形 39 度,41,28

这三角形用不同的标志:PQR 而不是 ABC。没关系,就在正弦定理用 P、Q 和 R 就行了。

开始:   sin R / r = sin Q / q
     
代入已知值:   sin R / 41 = sin(39°)/28
     
每边乘以 41:   sin R = (sin(39°)/28) × 41
计算:   sin R = 0.9215……
     
反正弦:   R = sin-1(0.9215……)
    R = 67.1°

慢着!还有另外一个角的正弦是等于 0.9215…… 的!

计算器不会给你这个答案,但 sin(112.9°) 也是等于 0.9215……

那么,我们怎样得到 112.9°这个答案?

其实很简单……把 67.1°从 180°减去,像这样:

180° - 67.1° = 112.9°

故此,R 可以有两个答案: 67.1°112.9°

三角正弦定理两个角例子

两个都是对的!每个三角形都有 39°的角及 41 和 28 长的边。

所以,一定要记得去检查,看看可不可以有另一个答案。

三角正弦定理一个角例子

我们以前也看过这个三角形。

你可以尝试把 "5.5" 长的边放到右边,但这样不会形成一个符合给定条件的三角形,所以也不会导致一个合理的答案。

故此,这算题只有一个答案。