解应用题

这网页有很多例子!

在代数里我们时常见到应用题,例如:

例子:小王和大牛是网球运动员。

上周末小王比大牛多打了4局,他们总共打了12局。

大牛打了多少局?

我们怎样去答这个问题?

一个技巧是把问题分成两个部分:

把语文转为代数。

用代数来解。

把语文转为代数。

按以下步骤把问题从语文转为代数的语言

我们也应该写下问题问的究竟是什么,这会给我们一个目标!

也需要留意关键词:

如果见到  

加、总、和、增加、更多、合、一起、还有、多于

  +

减、少、差、更少、减少、缩小

 

乘、次、积、因数

  ×

除、商、每、分之、比、百分比、率

  ÷
使……最大 或 使……最小   几何
公式
率、速率   距离
公式
多久、日/天、小时、分、秒   时间

清晰的思维

有时候问题的措词会有点复杂,可能使你理解错误,例如:

例子:在这个小区狗的数目是猫的两倍。我们怎样把这写成方程式?

好了,方程是:2D = C

还是:D = 2C

仔细想想!

正确的答案是 D = 2C

2D = C 是常见的错误)

例子: 小王的书比大牛少两本。我们怎样把这写为一个方程?

方程是:S − 2 = A

还是:S = A − 2

还是:S = 2 − A

 

正确的答案是: S = A − 2

例子

我们先来看看一个非常简单的例子:

例子:一个矩形的花园是 12m 长,5m 宽,它的面积是多少?

 

把语文转为代数:

草图:

花园面积 5m x 12m

字母:

矩形的面积公式是:A = w × h

我们需要求面积。

 

解:

A = w × h = 12 × 5 = 60 m2

面积是 60 平方米

现在我们尝试去解在页顶的例子:

网球

例子:小王和大牛是网球运动员。上周末小王比大牛多打了4局,他们总共打了12局。大牛打了多少局?

 

把语文转为代数:

字母:

我们知道小王比大牛多打了4局,所以:S = A + 4

我们也知道他们总共打了12局:S + A = 12

我们想求大牛打了多少局:A

 

解:

开始:   S + A = 12
S = A + 4,所以我们可以
把 "A + 4" 代入 S:
  (A + 4) + A = 12
简化:   2A + 4 = 12
每边减 4:   2A = 12 - 4
简化:   2A = 8
每边除以 2:   A = 4

大牛打了4局网球。

 

检验:小王比大牛多打了4局,所以小王打了8局。 他们总共打了 8 + 4 = 12局。对了!

比较复杂的例子:

桌子

例子:大牛和小王都造桌子。
在12天里,他们一起造了10张桌子。

大牛自己一个人可以在30天里造10张桌子。

小王造10张桌子要几天?

 

把语文转为代数:

字母:

12天里,大牛和小王一共造了10张桌子,所以:12a + 12s = 10

30天里,大牛 自己可以造10张:30a = 10

我们想求小王造10张桌子要多久。

解:

30a = 10所以大牛每天可以造:a = 10/30 = 1/3 张桌子

开始:   12a + 12s = 10
把 "1/3" 代入 a:   12(1/3) + 12s = 10
简化:   4 + 12s = 10
每边减 4:   12s = 6
每边除以 12:   s = 6/12
简化:   s = 1/2

就是说,小王每天可以造半张桌子(比大牛快!)

所以小王在20天里可以造10张桌子。

我认为小王的工资也应该高一点。

我们再来看一个"代"数的例子:

赛道

例子:珍珍在锻炼去参加全运会。

她的锻炼计划是每星期有几天练5个小时,其他的日子练3个小时。

在一个星期的7天里,她总共练了27个小时。她有几天练了5个小时?

字母:

一星期有7天,所以:d + e = 7

珍珍一星期练27小时,d天练5个小时,e天练3个小时:5d + 3e = 27

我们想求她有几天练5个小时:d

 

解:

    d + e = 7
所以:   e = 7 − d
     
代入 5d + 3e = 27   5d + 3(7−d) = 27
简化:   5d + 21 − 3d = 27
每边减 21:   5d − 3d = 6
简化:   2d = 6
每边除以 2:   d = 3

珍珍每星期有 "3" 天练5个小时

检验:3天练5个小时,所以 4(=7−3)天练3个小时。

3 × 5 小时 = 15 小时,加 4 × 3 小时 = 12 小时,一共 27 小时

几何例子:

圆形面积派R平方

例子:圆形 的面积是 12 mm2,半径是多长?

字母:

面积的公式是:A = π r2

我们想求 半径。

解:

我们需要重排这个公式

开始:   A = π r2
换边:   π r2 = A
每边除以 π:   r2 = A / π
每边去平方根:   r = √(A / π)
     
可以把面积的值代入公式:   r = √(12 / π)
     
结果是:   r = 1.954 (保留三位小数)

 

例子:A 立方体 的体积是 125 mm3,他的表面积是多大?

画个草图:

立方体 面积=6s^2,体积=s^3

字母:

公式:

我们想求表面积。

解:

先用体积的公式来求 s

开始:   V = s3
换边:   s3 = V
取每边的立方根:   s = ∛(V)
代入体积的值:   s = ∛(125) = 5

现在来求表面积:

开始:   A = 6s2
代入 s 的值:   A = 6(5)2
    A = 6 × 25 = 150 mm2

与钱有关的例子:

薄饼

例子:祖儿在薄饼店打工。她的超时工资是正常工资的 1¼ 倍。

上星期祖儿做了40小时的正常工作及12小时的超时工作。如果祖儿上星期的工资是$660,她每小时的正常工资是多少?

 

字母:

公式:

$40N + $(12 × 1¼N) = $660

我们想求祖儿的正常工资 $N。

 

解:

开始   $40N + $(12 × 1¼N) = $660
简化:   $40N + $15N = $660
再简化:   $55N = $660
每边除以 55:   $N = $12

祖儿的正常工资是每小时 $12

检验

祖儿的正常工资是每小时 $12,所以她的超时工资是每小时 1¼ × $12 = 每小时$15。她的正常工资是 40 × $12 = $480,超时工资是 12 × $15 = $180,总共是 $660

再来一些关于钱的例子,以下两个例子都与复利有关

例子:大牛把 $2000 存进银行,年复利率是 11%。三年后存款是多少?

这是复利的公式:

PV(1+r)^n = FV

我们用这些字母:

我们相求终值:FV

 

解:

开始:   FV = PV × (1+r)n
代入已知值:   FV = $2000 × (1+0.11)3
计算:   FV = $2000 × 1.367631
计算:   FV = $2735.26 (至最接近的分)

例子:小李把 $1,000 存进储蓄账户。利息是固定利率的复利。九年后小李的存款是 $1,551.33

储蓄账户的年利率是多少?

这是 复利 公式:

PV(1+r)^n = FV

我们用这些字母:

我们想求利率:r

 

解:

开始:   FV = PV × (1+r)n
代入已知值:   $1,551.33 = $1000 × (1+r)9
换边:   $1000 × (1+r)9 = $1,551.33
每边除以 1000:   (1+r)9 = $1,551.33 / $1,000
简化:   (1+r)9 = 1.55133
9次根:   1+r = 1.55133(1/9)
计算:   1+r = 1.05
计算:   r = 0.05 = 5%

年利率是 5%

检验: $1,000 × (1.05)9 = $1,000 × 1.55133 = $1,551.33

关于 的问题:

例子:在年初,班上男孩和女孩的比是 2 :1

现在,半年后,四个男孩退学了,并且新来了两个女孩。男孩和女孩的比变成了 4 :3

班上总共有几个小孩?

字母:

现在的比是 4 :3

b  =  4
g 3

这可以重排为 3b = 4g

在年初有 (b + 4) 个男孩和 (g − 2) 个女孩,比是 2 :1

b + 4  =  2
g − 2 1

这可以重排为 b + 4 = 2(g − 2)

我们想求现在总共有几个小孩:b + g

解:

开始:   b + 4 = 2(g − 2)
简化:   b + 4 = 2g − 4
每边减 4:   b = 2g − 8
每边乘以 3 (来得到 3b):   3b = 6g − 24
4g 代入 3b   4g = 6g − 24
每边减 6g   −2g = − 24
每边除以 2:   g = 12

12 个女孩!

3b = 4g,因此 b = 4g/3 = 4 × 12 / 3 = 16,所以有 16 个男孩

现在班上 12个女孩和 16个男孩,一共有 28个小孩

检验

现在有 16个男孩和 12个女孩,所以男孩和女孩的比是 16 :12 = 4:3
在年初有 20个男孩和 10个女孩,所以比是 20 :10 = 2 :1

在下面的例子里,我们需要解 二次方程

例子:两个连续的偶整数的积是 168。求它们的值。

连续 的意思是一个和后面顺序的一个。它们是 偶数,所以可以是 2 和 4 或 4 和 6 等等。

n 为小的整数,大的整数便一定是 n+2

它们的积(相乘的结果)是 168,所以:

n(n + 2) = 168

我们想求这两个整数

解:

开始:   n(n + 2) = 168
展开:   n2 + 2n = 168
每边减 168:   n2 + 2n − 168 = 0

这是个 二次方程,有很多方法去解它。用 二次方程式解算器,我们得到的答案是 −14 和 12。

检验 −14: −14(−14 + 2) = (−14)×(−12) = 168 正确

检验 12: 12(12 + 2) = 12×14 = 168 正确

有两个答案:-14、-12 和 12、14。

 

注意:我们也可以用 "猜测和检测" 的方法来做:

可是,若我们忘了 负负得正,我们便可能忽略了 (−14)×(−12) 这个答案。

最后一个例子:

例子:你是建筑师。你的客户想要一个长度为宽度两倍的房间,并且沿这房间长的一边有个3米宽的 阳台。

客户给你 56 平方米的大理石磁砖来为房间和阳台铺地。

房间的长度是多少?

先来画个草图!:

房间阳台长两倍与宽

字母:

已知:

我们想求房间的长度:L

解:

开始:   (W + 3) × L = 56
代入 W = ½L::   (½L + 3) × L = 56
简化:   ½L2 + 3L = 56
所有项乘以 2:   L2 + 6L = 112
每边减 112::   L2 + 6L − 112 = 0

这是个 二次方程,有很多方法来解它,这里我们用 因式分解

开始:   L2 + 6L − 112 = 0
找两个积是 ac=−112
并且 和是 b=6 的数:14 和 −8:
  L2 + 14L − 8L − 112 = 0
合并:   L(L +14) − 8(L + 14) = 0
合并:   (L − 8)(L + 14) = 0

结果是 L = 8 或 -14

二次方程有两个答案,但只有一个是正确的答案,因为房间的长度不能是负数!

因此,房间的长度是 8 m

检测

L = 8,所以 W = ½L = 4

S矩形的面积 = (W+3) × L = 7 × 8 = 56

好了……

……希望这些例子可以帮你领略怎样去解应用题。现在我建议你去练习一下……学以致用,熟能生巧!