导数法则

导数 是在函数上任何一点的坡度。

坡度例子 y=3,坡度=0;y=2x,坡度e=2

有很多法则可以帮助我们去求导数。

例子:

以下是一些常用的法用来求函数的导数(例子在下面)。注意:这个符号 的意思是 "的导数"。.

常见函数 函数
导数
常数 c 0
直线 x 1
  ax a
平方 x2 2x
平方根 √x (½)x
指数 ex ex
  ax ln(a) ax
对数 ln(x) 1/x
  loga(x) 1 / (x ln(a))
三角 (x 的单位是 弧度 sin(x) cos(x)
  cos(x) −sin(x)
  tan(x) sec2(x)
反三角 sin-1(x) 1/√(1−x2)
  cos-1(x) −1/√(1−x2)
  tan-1(x) 1/(1+x2)
     
法则 函数
导数
乘以常数 cf cf’
幂次方法则 xn nxn−1
加法法则 f + g f’ + g’
减法法则 f - g f’ − g’
积法则 fg f g’ + f’ g
商法则 f/g (f’ g − g’ f )/g2
倒数法则 1/f −f’/f2
     
链式法则
(为 "复合函数")
f º g (f’ º g) × g’
链式法则 (用 ’ ) f(g(x)) f’(g(x))g’(x)
链式法则 (用 d dx dy dx = dy du du dx

"的导数" 也可以写成 d dx

所以 d dx sin(x)sin(x)’ 是 一样的,只不过写法不同

举例

例子:sin(x) 的导数是什么?

从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)

可以写为:

d/dxsin(x) = cos(x)

或:

sin(x)’ = cos(x)

幂次方法则

例子:d/dxx3 是什么?

问题是 "x3 的导数是什么?"

我们可以用幂次方法则,以 n=3:

d/dxxn = nxn−1

d/dxx3 = 3x3−1 = 3x2

例子:d/dx(1/x) 是什么?

1/x 等于 x-1

我们可以用幂次方法则,以 n = −1:

d/dxxn = nxn−1

d/dxx−1 = −1x−1−1 = −x−2

乘以常数

例子:d/dx5x3 是什么?

cf 的导数 = cf’

5f 的导数 = 5f’

幂次方法则:

d/dxx3 = 3x3−1 = 3x2

所以:

d/dx5x3 = 5d/dxx3 = 5 × 3x2 = 15x2

加法法则

例子:x2+x3 的导数是什么?

加法法则说:

f + g 的导数 = f’ + g’

所以我们可以求每项的导数,然后求它们的和。

幂次方法则:

所以:

x2 + x3 的导数 = 2x + 3x2

减法法则

变量不一定是 x,我们可以相对于 v 来求导数:

例子:d/dv(v3−v4) 的导数是什么?

减法法则说:

f − g 的导数 = f’ − g’

所以我们可以求每项的导数,然后求它们的差。

幂次方法则:

所以:

v3 − v4 的导数 = 3v2 − 4v3

加法、减法、乘以常数和幂次方法则

例子:d/dz(5z2 + z3 − 7z4) 的导数是什么?

幂次方法则:

所以:

d/dz(5z2 + z3 − 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z + 3z2 − 28z3

 

积法则

例子:cos(x)sin(x) 的导数是什么?

积法则说:

fg 的导数是 = f g’ + f’ g

在这个例子里:

根据上面的列表:

所以:

cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)

= cos2(x) − sin2(x)

 

倒数法则

例子:d/dx(1/x) 的导数是什么?

倒数法则说:

1/f 的导数 = −f’/f2

若 f(x)= x,f’(x) = 1

所以:

1/x 的导数是 = −1/x2

结果和在上面用幂次方法则求的一样。

链式法则

例子: d dx sin(x2) 的导数是什么?

sin(x2) 是由 sin()x2 结合而成:

链式法则说:

f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)

导数分别是:

所以:

d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x)

= 2x cos(x2)

链式法则也可以写成: dy dx = dy du du dx

让我们用这个公式来再做一遍上面的例子:

例子: d dx sin(x2) 的导数是什么?

dy dx = dy du du dx

设 u = x2,所以 y = sin(u):

d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2

分别微分:

d dx sin(x2) = cos(u) (2x)

代入 u = x2 和简化:

d dx sin(x2) = 2x cos(x2)

结果和上面一样!

再来看看一些链式法则的例子:

例子:d/dx(1/cos(x)) 的导数是什么?

1/cos(x) 是由 1/gcos() 结合而成:

链式法则说:

f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

导数分别是:

所以:

(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)

= sin(x)/cos2(x)

注意:sin(x)/cos2(x) 也是 tan(x)/cos(x),或其他不同的形式。

 

例子:d/dx(5x−2)3 的导数是什么?

链式法则说:

f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)

(5x-2)3 是由 g35x-2 结合而成:

导数分别是:

所以:

d/dx(5x−2)3 = 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2