定积分
你也许想先阅读 积分入门！
积分
积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。我们时常用积分来求函数曲线下面的面积。像这样： |
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我们可以把曲线下面的面积切成一片片，当这些片的宽度趋近零时，它们面积的和便是曲线下面的面积： 也有 积分法则 来帮我们求答案。 |
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记法
"积分" 的符号像英语字母 "S" |
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把要求积分的函数（叫被积函数）放在积分符号后面，
最后放 dx 来代表积分的方向是 x（片沿 x 的宽度趋近零）。
定积分
定积分 有起点和终点：有从 a 到 b 的区间。
起点和终点的值放在"S" 符号的下面和上面，像这样：
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| 不定积分 （没有指定值） |
定积分 （从 a 到 b） |
定积分是不定积分在 a 和 b 的值的差：
例子：
2x dx 从 1 到 2 的定积分：
不定积分 是：∫2x dx = x2 + C
- 在 x=1：∫2x dx = 12 + C
- 在 x=2：∫2x dx = 22 + C
减：
"C" 被消去…… 所以求定积分时我们可以不理 C。
答案可以直接写为：
我们可以求那个图形（梯形）的面积来检验答案：
对了，面积是 3.
（不赖！）
再看一个例子：
例子：
cos(x) dx 从 0.5 到 1.0 的定积分：
（注意：x 的单位一定要是 弧度）
不定积分是：∫cos(x) dx = sin(x) + C
C 可以不理（如上）：
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= sin(1) − sin(0.5) | |
| = 0.841…… − 0.479…… | ||
| = 0.362…… |
现在我们用以下的例子来表明一个论点：
例子：
sin(x) dx 从 0 到 1 的定积分：
不定积分是：∫sin(x) dx = −cos(x) + C
起点是 0，那么我们可不可以求 x=1 的值为面积？
−cos(1) = −0.540……
什么？在 x=1 的面积是负数？不，我们一定要减去积分在 x=0 的值，我们不可以假设它是零。
正确的做法是求两个值的差（C 会消去，所以不用写下来）：
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= −cos(1) − (−cos(0)) | |
| = −0.540……− (−1) | ||
| = 0.460…… |
像样多了！
但若曲线是在轴的下面，便真的可以有负的面积：
例子：
cos(x) dx 从 1 到 3 的定积分：
注意曲线有正的部分，也有负的部分。
定积分是净面积的值。
不定积分是：∫cos(x) dx = sin(x) + C
计算：
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= sin(3) − sin(1) | |
| = 0.141…… − 0.841…… | ||
| = −0.700…… |
试试用不同的起点和终点来求 cos(x) 的定积分，来更加了解有正值和负值的函数的定积分。
可是，有时我们需要 实际面积 （不减去负的部分）：
例子：从 x = 1 到 x = 3，y = cos(x) 和 x轴 之间的面积是多少？
这和上面的例子差不多，不过面积是个正数 （想象你需要为它涂色）。
我们要把两个部分分开来做：
- 一部分是 x轴 上面的面积
- 一部分是 x轴 下面的面积
曲线在 x = π/2 经过 x轴，所以：
最后一个是负值，但我们要正值，所以：
总面积 = 0.159…… + 0.859…… = 1.018……
答案和上面的例子相差很大。
连续
求积分的函数在 a 和 b 之间一定要是 连续 的：没有缺口、间隙或垂直渐近线（函数向上或下趋向无穷大）。
例子：
在 a 和 b 之间的垂直渐近线对定积分有影响。
属性
倒转区间
把区间倒转后，定积分是原来定积分的负值。
零长度的区间
若起点等于终点，定积分的值是零：
区间相加
我们也可以把两个区间的定积分相加：
总结
从 a 到 b 的定积分是用在 b 的不定积分减去在 a 的不定积分。