积分法则

积分

积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。它时常是用来求 函数曲线下面的面积的方法。像这样:

  积分面积

 

很多函数的积分都是众所周知的,也有很多有用的法则来帮助我们去求较为复杂的函数的积分,包括在下面列出的一些法则。

我们也会用一些 例子 来说明。

常用函数 函数 积分
常数 a dx ax + C
变量 x dx x2/2 + C
平方 x2 dx x3/3 + C
倒数 (1/x) dx ln|x| + C
指数 ex dx ex + C
  ax dx ax/ln(a) + C
  ln(x) dx x ln(x) − x + C
三角法 (x 的单位是 弧度 cos(x) dx sin(x) + C
  sin(x) dx -cos(x) + C
  sec2(x) dx tan(x) + C
     
法则 函数
积分
乘以常数 cf(x) dx cf(x) dx
幂次数法则 (n≠-1) xn dx xn+1/(n+1) + C
和法则 (f + g) dx f dx + g dx
差法则 (f - g) dx f dx - g dx
分部积分法 分部积分法
换元法则 换元积分法

例子

例子:sin(x) 的积分是什么?

从上面的列表,答案是 −cos(x) + C

写成:

sin(x) dx = −cos(x) + C

幂次方法则

例子:x3 dx 是什么?

问题是 "x3 的积分是什么?"

我们可以用幂次方法则,设 n=3

xn dx = xn+1/(n+1) + C

x3 dx = x4/4 + C

例子:√x dx 是什么?

√x 等于 x0.5

我们可以用幂次方法则,设 n=½:

xn dx = xn+1/(n+1) + C

x0.5 dx = x1.5/1.5 + C

乘以常数

例子:6x2 dx 是什么?

我们可以把 6 移到积分外面:

6x2 dx = 6x2 dx

接着用幂次方法则来求 x2 的积分:

= 6 x3/3 + C

简化:

= 2x3 + C

和法则

例子: cos x + x dx 是什么?

用和法则:

cos x + x dx = cos x dx + x dx

求每项的积分(用上面的表):

= sin x + x2/2 + C

差法则

例子: ew − 3 dw 是什么?

用差法则:

ew − 3 dw =ew dw − 3 dw

T求每项的积分(用上面的表):

= ew − 3w + C

和法则、差法则、乘以常数和幂次方法则

例子: 8z + 4z3 − 6z2 dz 是什么?

用和法则和差法则:

8z + 4z3 − 6z2 dz =8z dz + 4z3 dz − 6z2 dz

常以常数:

= 8z dz + 4z3 dz − 6z2 dz

幂次方法则:

= 8z2/2 + 4z4/4 − 6z3/3 + C

简化:

= 4z2 + z4 − 2z3 + C

分部积分法

分部积分法

换元法则

换元积分法