置信区间

4 加减 2 的置信区间
4 加减 2 的区间

置信区间是一个我们相当肯定是包含真实值数值范围。.

男人跑

例子:平均身高

我们测量了 40个随机选择的男人的身高,结果是:

95%置信区间 (下面会解释计算方法)是:

175cm ± 6.2cm

置信区间 175 加减 6.2

意思是所有男人(假设我们可以全部测量)的真平均身高很可能是在 168.8cm 和 181.2cm 之间。

但这可能是不对的!

"95%" 说在 95% 的实验里区间会包含真平均身高,但 5% 的实验不会

所以我们的置信区间有二十分之一(5%)的机会不包含真平均身高。

计算置信区间

一、写下样本的数量 n,接着求这些样本的平均 X标准差 s

二、决定我们用哪个置信区间,通常是 90%、95% 和 99%。然后在这查这个 "Z"值:

  Z
80% 1.282
85% 1.440
90% 1.645
95% 1.960
99% 2.576
99.5% 2.807
99.9% 3.291

95% 的 Z值是 1.960

三、把 Z值代入以下的公式来求置信区间

X  ±  Z s
√(n)

其中:

结果是:

175 ± 1.960 × 20
√40

这是:

175cm ± 6.20cm

就是:从 168.8cm 到 181.2cm

± 符号后面的值叫误差界限

在以上的例子里,误差界限是 6.20cm

置信区间计算器

计算器

我们有个 置信区间计算器 来帮你计算置信区间。

再来一个例子

苹果树

例子:苹果园

苹果够不够大?

果园的树上有很多苹果,你只随意选了 30个来得到以下的结果:

计算:

X  ±  Z s
√(n)

已知:

86  ±  1.960 5  = 86 ± 1.79
√30

所以所有苹果的真平均值很可能是在 84.21 和 87.79 之间

真平均值

现在假设我们把所有的苹果都摘下来,然后用机器来量度它们(我们不只是纸上谈兵的!)

结果:真平均值 84.9

我们把全部的苹果从小到大放在地上:

置信区间 86 加减 1.79
每个绿点是个苹果,
蓝点是我们的样本

我们的结果不是绝对精确的……是个随机测试……但是,真平均值是在我们算出来的置信区间 86 ± 1.79 (从 84.21 到 87.79)里

实际上,真平均值也可能不在置信区间里,但在 95% 的情况下真平均值是在置信区间里的!

真平均值会在 95% 的 "95%置信区间" 里。

我们可能会选到一个平均为 83.5 和标准差为 3.5 的样本:

置信区间 83.5 加减 1.25
绿点是苹果,
紫点是样本

真平均值不在置信区间里。5% 的置信区间会是这样的。

那么,我们怎样才可以知道样本是属于 "幸运"的 95%, 还是不幸运的 5%?除非我们真的测量所有的苹果,否则我们不会知道

这是取样本来检验的风险,我们可能选了坏样本.

做研究的例子

这是个在长者额外锻炼的研究里应用置信区间的例子:

置信区间抽样

例子:"男" 的行里的资料是说有:

换句话说,对所有男人来说,真正的益处有 95% 的机会是在 0.88 和 0.97 之间

* 注意:在研究里用 "HR",意思是 "Hazard Ratio"(风险比率)。这比率越低越好,所以 HR 值为 0.92 的意思是研究对象的状况变好了,1.03 代表有一点变坏了。

标准正态分布

这是基于 标准正态分布 的概念,Z值是 "z分数"

例如,95% 的 Z 是 1.960,我们可以在这里看到 95% 的值都在 -1.96 到 +1.96 之间:

置信区间 95%
从 -1.96 到 +1.96个标准差是 95%

应用在我们的样本上就像这样:

置信区间 86 加减 1.79 钟
这也是从 -1.96 到 +1.96个标准差,所以包括 95%

结论

置信区间公式是

X  ±  Z s
√(n)

其中:

  Z
80% 1.282
85% 1.440
90% 1.645
95% 1.960
99% 2.576
99.5% 2.807
99.9% 3.291