条件概率

怎样处理相关事件

我们在生活中时常都会遇到随机事件。你需要对这些事件有个"感觉",才能成为一个聪明及成功的人。

独立事件

事件可以是 "独立" 的,意思是每个事件是 受其他事件影响的。

硬币正反面

例子:抛硬币。

每一次抛硬币都是绝对独立的。

过去的抛掷对这次抛掷是完全没有影响的。

每一个抛掷得到正面(或反面)的可能性永远是二分之一,或 50%。

每一个抛掷都是个独立事件

相关事件

但事件也可以是 "相关" 的……意思是 受过去事件影响的……

弹子概率

例子:布袋里的弹子

布袋里有 2颗蓝色弹子和 3颗红色弹子。

随机拿一颗,拿到蓝色的概率是多少?

可能性是 五分之二

拿掉一颗之后情形便不同了!

所以拿第二个的时候:

可能性每次都可能改变。每个事件和上一个事件是有关联的,这些事件便是相关的。

我们在这里就是讲这个。

 

"放回原位"

注意:如果我们把拿走的弹子放回袋子里,然后才拿下一次,可能性便不会改变。这些事件便是独立的:

 

树图

树图:是个很好的方法去显示类似的情况。我们现在为这个弹子例子做个树图。

有 2/5 的可能性会拿到蓝弹子,3/5 的可能性会拿到红弹子:

弹子概率树图 1

我们来看看拿第二颗弹子时的情形:

弹子概率树图 2

若先拿的是蓝色,第二颗是蓝色的可能性是 1/4,第二颗是红色的可能性是 3/4。

若先拿的是红色,第二颗是蓝色的可能性是 2/4,第二颗是红色的可能性是 2/4。

现在我们可以尝试解答像这样的问题了:"拿到 2颗蓝弹子的可能性是多少?"

答案:2/5 的可能性和之后 1/4 的可能性一起:

弹子概率树图 3

注意我们把可能性相乘,结果是 1/10。

拿到 2颗蓝弹子的可能性是 1/10

记法

数学用很多记法!我们可以用代数来处理这些概念,概率的记法是:

P(A) 的意思是 "事件 A 的概率"

在以上的例子,事件 A 是 "第一次拿蓝色",概率是 2/5:

P(A) = 2/5

事件 B 是 "第二次拿蓝色" …… 有 2个可能:

所以我们要说明我们想要哪个可能,并用这个符号:"|" 来表示 "在以下发生的条件下":

P(B|A) 的意思是 "在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率"

换句话说,事件 A 已经发生了,现在事件 B 发生的可能性是多少?

P(B|A) 也叫在 A 发生的情况下 B 发生的 "条件概率"。

在这个例子里:

P(B|A) = 1/4

所以拿到 2个蓝弹子的概率是:

弹子概率树图 4

我们这样写

P( A 与 B ) = P(A) 乘以 P(B 条件 A)

"事件 A 与 事件 B 的概率等于
事件 A 的概率乘以在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率"

 

我们再写一遍,这次全部用记法:

例子:在一副扑克牌里拿 2张国王

事件 A 是第一次拿一张国王,事件 B 是第二次拿一张国王。

第一张牌是国王的可能性是52分之4(52张牌里有4张国王):

P(A) = 4/52

拿走第一张国王后,第二张是国王的可能性降低了(剩下的51张牌里只有3张是国王):

P(B|A) = 3/51

所以:

P(A 与 B) = P(A) × P(B|A) = (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221

所以拿到2张国王的可能性是221分之1,或大约 0.5%

寻找隐藏数据

我们可以用代数来改变一个公式的"主語",像这样:

开始:   P(A 与 B) = P(A) × P(B|A)
换边:   P(A) × P(B|A) = P(A 与 B)
除以 P(A):   P(B|A) = P(A 与 B) / P(A)

得到另一个有用的公式:

P(B 条件 A) = P( A 与 B ) / P(A)

"在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率等于
事件 A 与事件 B 的概率除以事件 A的概率

例子:冰淇淋

在你的社交群组里,70% 喜欢巧克力冰淇淋,35% 喜欢巧克力和草莓。

在喜欢巧克力的人里,也喜欢草莓的百分比是多少?

P(草莓|巧克力) = P(巧克力 与 草莓) / P(巧克力)

0.35 / 0.7 = 50%

在喜欢巧克力的人里,50% 也喜欢草莓

 

足球队

复杂例子:足球赛

你去踢足球,你想当守门员,但这和今天谁是教练有关:

小山比较多做教练……大约每10场球赛有6场是他做教练(概率是 0.6)。

你今天当守门员的概率是多少?

 

我们来做个树图。首先,写下两个教练的名字:小山 或 阿力:

树图 1

小山做教练的概率是 0.6,所以阿力做教练的概率是 0.4 (加起来是 1)

如果小山做教练,你有 0.5 的可能性当守门员(0.5 的可能性不当守门员):

树图 2

如果阿力做教练,你有 0.3 的可能性当守门员(0.7 的可能性不当守门员):

树图 3

树图做好了,我们可以求概率了。公式是:

P(A 与 B) = P(A) x P(B|A)

这是 "小山,是" 的分支的计算:

树图 4

(小山做教练的 0.6 的概率乘以小山让你当守门员的 0.5 的概率等于 0.3 的概率。)

还没做完!还要算阿力做教练的情况:

树图 5

阿力有 0.4 的可能性做教练,让你当守门员的可能性是 0.3,相乘是 0.12

两个 "是" 的分支一起:

你有 0.3 + 0.12 = 0.42 的概率今天当守门员

(42% 的可能性)

检验

最后:完成计算后,看看加起来是不是等于 1:

树图 6

0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1

对了,加起来是 1,所以计算应该没错。

朋友和随机数

这是一个另类的条件概率的例子。

4个朋友(小李、蛮牛、小王 和 大山),每人随机选一个在1和5之间的数。他们其中任何两个人选中相同数字的可能性是多少?

我们逐个来……

 

首先,小李和蛮牛选同一个数的可能性是多少?

蛮牛把他的数和小李的数比较。相同的可能性是5分之1。

树图是这样的:

相关事件 1

注意:"是" 和 "否" 加起来是 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

 

现在把小王也算进去……

有两个可能:

结果是:

相关事件 2

在最上面的一行(小李和蛮牛的数相同的)已经有两个数相同(可能性是 1/5)。

但如果"小李和蛮牛的数不是相同的",小王的数便有 2/5 的可能性和其中一个数相同(因为小王可以选小李或蛮牛的数)。

我们可以把概率相乘来求合并(两个事件一同发生)的概率:

沿着 "否,是" 的分支……"否"的可能性是 4/5,接着的"是"的可能性是 2/5:

(4/5) × (2/5) = 8/25

沿着 "否,否" 的分支……"否"的可能性是 4/5,接着的"否"的可能性是 3/5:

(4/5) × (3/5) = 12/25

注意所有的概率加起来还是 1(这是检差我们有没有算错的好方法):

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

 

如果我们把大山也算进去呢?

一样的概念,不过要做更多计算:

相关事件 3

做好了,"是" 的概率加起来是 101/125:

答案:101/125

 

但有个有趣的捷径……我们可以沿着"否"的分支做,便可以省却其他的计算,做起来也简单很多:

相关事件 4

没有相同的数的可能性是:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

所以有相同的数的可能性是:

1 - (24/125) = 101/125

(连树图也不需要!)

 

这是在解概率问题常用的技巧:

通常计算"否"的概率是比较容易的
(从 1 减去"否"的概率就是"是"的概率)

(我们在 同一个生日 这网页里有这个技巧的具体说明。)