概率:独立事件

随机生命

我们在生活中时常都会遇到随机事件。

你需要对这些事件有个"感觉",才能成为一个聪明及成功的人。

抛硬币、掷骰子和彩票抽奖都是随机事件的例子。

有时一个事件会影响下一个事件。

例子:从布袋里拿弹子:每拿走一颗弹子,袋子里就少一颗弹子,所以概率也随着改变。

这种事件叫相关事件,因为事件是与已经发生的事件有关联的(去阅读 条件概率来了解更多)。

其他不是相关的事件就是独立事件……

独立事件

独立事件是不受过去事件影响的

这是个很重要的概念!

硬币不"知道"它以前曾经正面向上。

每一次抛掷硬币都是个绝对独立的事件。

抛硬币概率

例子:你抛一个硬币三次,结果全是"正面"……下一次抛掷的结果也是"正面"的可能性是多少?

可能性是 ½(0.5),和任何一次抛掷一样。

以前的抛掷不会影响这次抛掷!

有些人可能想: "已经三次正面了,这一次应该轮到反面了吧",但无论如可,下一次抛掷与以前的抛掷是完全独立的。

说:"应该轮到反面了",或:"再来一次,幸运女神这次会眷顾我了" 这种行为有个名字:赌徒谬误

当然,你可能会转运,因为每个抛掷结果的概率是相同的。

独立事件的概率

"概率"(或叫"可能性")是事件发生的可能性

我们怎样计算概率?

事件发生的概率 = 事件可能发生方式的个数 结果的总数

 

抛硬币概率

例子:抛一个硬币得到"正面向上"的概率是多少?

事件可能发生方式的个数:1 (正面)

结果的总数:2 (正面和反面)

所以概率 = 1 2 = 0.5

骰子

例子:掷骰子得到 "4" 点或 "6" 点的概率是多少?

事件可能发生方式的个数:2("4" 和 "6")

结果的总数:6("1"、"2"、"3"、"4"、"5" 和 "6")

所以概率 = 2 6 = 1 3 = 0.333……

表达概率的方式

概率的值可以从 0 (不可能)到 1(必然):

概率线

概率经常是写成小数分数

例子:抛硬币得到"正面向上"的概率:

两个或多个事件

两个或多个独立事件的概率是每个事件的概率的

例子:连续抛到3个正面向上

每次抛掷得到 "正面" 的概率是 0.5:

硬币概率 正正正 = 0.5x0.5x0.5 = 0.125

所以连续得到 3个正面向上的概率是 0.125

每次抛掷得到正面的概率是 ½,但连续得到很多个正面是不太可能的。

例子:为什么连续得到例如7个正面是不太可能,但次抛掷有 ½ 的可能性是正面?

因为这其实是两个不同的问题:

问题 1:连续得到7个正面的概率是多少?

答案:½×½×½×½×½×½×½ = 0.0078125(少于 1%)。

问题 2:在已经连续得到6个正面的条件下,下一次抛掷的结果也是正面的概率是多少?

答案:½,因为过去的抛掷对下一个抛掷没有影响。

你可以去玩玩 五点梅花器 来体验很多独立事件也可以有规律的效果。

记法

我们用 "P" 来代表 "的概率",

所以,为独立事件:

P(A 与 B) = P(A) × P(B)

A 与 B 的概率等于 A 的概率乘以 B 的概率

例子:你的老板(为公平起见)随机地选员工周末从下午4点到午夜加班2小时。

你被选中在星期六6点到8点加班的可能性是多少?

独立概率时间

日:周末有两日,所以 P(星期六) = 0.5

时间:6点到 8点是 8小时(4点到午夜)里的 2小时

P(你的时间) = 2/8 = 0.25

相乘

P(星期六 与 你的时间) = P(星期六) × P(你的时间)
  = 0.5 × 0.25
  = 0.125

12.5% 的可能性

(注意:我们也可以说你想要 16个小时里的 2个小时,概率便是 2/16 = 0.125。两个方法都是正确的。)

又一个例子

想像有两组人:

概率中奖者

你中大奖的可能性是多少?

所以你有 1/5 的可能性,之后再有 1/2 的可能性……一起就是 1/10 的可能性:

15 × 12 = 15 × 2 = 110

我们以可以用小数来算(1/5 是 0.2,1/2 是 0.5):

0.2 x 0.5 = 0.1

你赢大奖的可能性是 0.1(1/10)。

巧合!

很多 "巧合" 其实是很可能的。

例子:房间里有30个人,你发觉小庄和莎莎的生日是相同的。

你会说:

其实有 70% 的可能性 房间里有两个人的生日是相同的……所以事件是很可能的

概率多个与多个

为什么概率这么高?

因为你是把每一个人与其他所有人比较(而不只是一个人与其他人比较)。

有 30人,这就是 435个比较

(去阅读 同一个生日 网页来了解更多。)

 

例子:Snap!扑克游戏

你曾经在同一时间和另一个人说同一句话吗?

真奇怪!

你们很可能是在谈同一个话题(电影、旅游……),所以你们心中想的都很可能是一样的。

同时也不会有很多不同的句子去描述同一样东西……

……就像 "Snap!" 这个扑克游戏……

……如果你们一起说很多话,最终一定会同时说相同的话。

所以其实没甚么好大惊小怪的,不过是可能性而已。

你还可不可以想到有什么乍看是"巧合",但其实是很可能的事?

结论