同一个生日

这是个绝妙的谜题,你可以用它来学到很多关于概率的学问……

房间里有30个人……里面至少有两个人生日相同的概率是多少?假设一年有 365日。

有些人可能这样想:"有 30个人,365日,所以应该是 30/365 = 0.08……"

不对!

概率其实比这个高很多。实际上,房间里很可能会有两个人的生日是相同的

概率多多  

因为你应该把每一个人与其他所有人比较。

有 30人,这就是435个比较

但你也需要小心不把概率计算过高。

在下面我会告诉你怎样去计算……但首先我们来看一个简单的例子:

朋友和随机数

4个朋友(小李、蛮牛、小王 和 大山),每人随机选一个在 1 和 5 之间的数。他们其中任何两个人选中相同数字的可能性是多少?

我们逐个来……

 

首先,小李和蛮牛选同一个数的可能性是多少?

蛮牛把他的数和小李的数比较。相同的可能性是5分之1。

树图是这样的:

相关事件 1

注意:"是" 和 "否" 加起来是 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

 

现在把小王也算进去……

有两个可能(叫 "条件概率"):

结果是:

相关事件  2

在最上面的一行(小李和蛮牛的数相同的)已经有两个数相同(可能性是 1/5)。

但如果 "小李和蛮牛的数不是相同的",小王的数便有 2/5的可能性和其中一个数相同(因为小王可以选小李或蛮牛的数)。

我们可以把概率相乘来求两个事件一同发生的概率:

沿着 "否,是" 的分支……"否"的可能性是 4/5,接着的"是"的可能性是 2/5 :

(4/5) × (2/5) = 8/25

沿着 "否,否" 的分支……"否"的可能性是 4/5,接着的"否"的可能性是 3/5:

(4/5) × (3/5) = 12/25

注意所有的概率加起来还是 1(这是检差我们有没有算错的好方法):

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

 

如果我们把大山也算进去呢?

一样的概念,不过要做更多计算:

相关事件  3

做好了,"是" 的概率加起来是 101/125:

答案:101/125

 

但有个有趣的捷径……我们可以沿着 "否" 的分支做,便可以省却其他的计算,做起来也简单很多:

相关事件  4

没有相同的数的可能性是:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

所以有相同的数的可能性是:

1 - (24/125) = 101/125

(连树图也不需要!)

 

这是在解概率问题常用的技巧:

通常计算 "否" 的概率是比较容易的
(从 1 减去"否"的概率就是"是"的概率)

 

例子:在 6个人里有任何两个人的生日月份相同的概率是多少?

"没有相同生日月份":

所以没有相同生日月份的概率是:

(11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12) = 0.22……

反过来就是有相同生日月份的概率:

1 - 0.22…… = 0.78……

所以有 78% 的可能性有两个人有相同生日月份

 

我们现在来解 "同一个生日" 的问题:

房间里有 30个人……里面至少有两个人生日相同的概率是多少?假设一年有 365日。

这跟刚才的例子一样!不过多些人和多些数:

没有相同生日的概率:

364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 336/365 = 0.294……

(我用了电子表格来计算,但其实也可以用其他数学捷径)

有相同生日的概率是 1- 0.294……

有相同生日的概率 = 1 - 0.294…… = 0.706……

就是 70.6% 的可能性,是很可能

23个人的概率是大约 50%

57个人的概率是 99%(差不多是必然的!)

下次你与很多人在房间里,你可以看看有没有人生日相同!

 

脚注:实际上,生日不是在一年里均匀分布的……比较多人在春天出生。医院也不想在周末太忙,所以在每周的头几天也会有多些分娩。闰年也会使得这问题复杂一点,但解问题的整体概念是相同的。