加权平均值

某些数值占较高比重的平均值。

平均

在计算一个简单的平均时,每个数值的比重都是相同的。

这是 1、2、3 和 4 的平均:

加权平均值相等

把数值相加,然后除以个数:

平均 =   1 + 2 + 3 + 4   =   10   = 2.5
4 4

权数

我们可以想象每个数值的 "权数" 是 ¼(因为有 4个数):

平均 = ¼ × 1 + ¼ × 2 + ¼ × 3 + ¼ × 4
= 0.25 + 0.5 + 0.75 + 1 = 2.5

答案没变。

现在我们把 3 的权数变作 0.7,而其他的数的权数变作 0.1,使得 权数总计还是 1

加权平均值增加权数

平均 = 0.1 × 1 + 0.1 × 2 + 0.7 × 3 + 0.1 × 4
= 0.1 + 0.2 + 2.1 + 0.4 = 2.8

这个加权平均值增大了一点(被 3的权数 "拉" 高了)。

 

但当一些数值的比重(权数)较大时,
中间点(平均)也会改变:

加权平均值跷跷板

 

决定

当一部分的数据比其他的数据重要时,加权平均值可以帮你做决定:

照相机

例子:小山想买一台照相机,他的选择标准是:

"锁你"相机的图象品质评价是 8(满分为 10)、电池续航时间评价是 6、放大缩小范围评价是 7

"伽能"相机的图象品质评价是 9、电池续航时间评价是 4、放大缩小范围评价是 6

那台照相机最好?

锁你:0.5 × 8 + 0.3 × 6 + 0.2 × 7 = 4 + 1.8 + 1.4 = 7.2

伽能:0.5 × 9 + 0.3 × 4 + 0.2 × 6 = 4.5 + 1.2 + 1.2 = 6.9

小山决定买锁你。

 

如果权数加起来不等于 1 呢?

如果权数加起来不等于 1,你便要除以所有权数的和。

工业

例子:小李通常一星期 7天工作,但有时也会只工作 1、2 或 5天。

小李最近的工作时间:

小李平均每星期工作多少天?

 

用 "星期" 来做权数:

星期 × 日数 = 2 × 1 + 14 × 2 + 8 × 5 + 32 × 7
= 2 + 28 + 40 + 224 = 294

把星期加起来:

星期 = 2 + 14 + 8 + 32 = 56

除法:

294   = 5.25
56

像这样:

加权平均值 5.25

通常用个列表会比较不容易出错:

例子(续):

以:

w 乘以 x,把 w 加起来,把 wx 加起来:

权数
w
日数
x

wx
2 1 2
14 2 28
8 5 40
32 7 224
Σw = 56   Σwx = 294

注意:Σ(总和符号)的意思是 "加起来"

Σwx 除以 Σx

平均 =   294   = 5.25
56

公式是:

加权平均值 =   Σwx
Σw

换句话说:把每个权数 w 乘以其对应的数值 x,把结果加起来,然后除以权数的和。

总结

加权平均值:某些数值占较高比重的平均值。

当权数的和等于 1 时,把每个权数乘以其对应的数值,然后把结果加起来

否则,把每个权数 w 乘以其对应的数值 x,把结果加起来,然后除以权数的和:

加权平均值 =   Σwx
Σw