欧拉公式
（代数里也有关于复数的 "欧拉公式"，
本页面讲的是关于几何和图表的欧拉公式）
欧拉公式
在一个不和自己交叉的多面体中，
- 面的个数
- 加 顶点（角）的个数
- 减 棱的个数
永远等于 2
公式可以写成这样：F + V − E = 2
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以立方体为例： 立方体有 6面，8个顶点，和 12条棱， 那么： 6 + 8 − 12 = 2 |
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要理解为什么是这样的，想象在立方体上加一条棱 7 + 8 − 13 = 2 |
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同样，如果加一个顶点 6 + 9 − 13 = 2. "不管怎么样，答案都是 2" |
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柏拉图固体例子
我们用五个柏拉图固体来试试看（注意：欧拉公式可以用来证明只可能存在五个柏拉图固体）：
| 名称 | 面（F） | 顶点（V） | 棱（E） | F+V-E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 四面体 |  |
4 | 4 | 6 | 2 |
| 立方体 |  |
6 | 8 | 12 | 2 |
| 八面体 |  |
8 | 6 | 12 | 2 |
| 十二面体 |  |
12 | 20 | 30 | 2 |
| 二十面体 |  |
20 | 12 | 30 | 2 |
球体
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所有柏拉图固体（和很多其他多面体）都像球体 …… 我们可以把它们变成球体（移动顶点，把面弯曲）。 因此，我们知道对球体来说， F + V − E = 2 |
（但小心，我们不能说球体只有一面并且没有顶点和棱 F+V−E=1）
所以结果仍然是 2……
……但不是一定的！
在上面你看到了在什么情况下欧拉公式是成立的，现在我们来看看在什么时候它是不成立的。
如果我们把二十面体的两个对角压在一起呢？
它还是个二十面体（但不再是凸多面体）。
形状好像一个面跟底在中间缝在一起的鼓。
棱和面的个数没变……但少了一个顶点！
所以：
F + V − E = 1
哈！加起来不再是 2 了。
原因是这是一个不同的多面体……两个顶点缝在一起变成一个顶点了。
欧拉示性数
因此，F+V−E 可以等于 2，或 1，或其他数值，所以广义的公式是
F + V − E = χ
其中 χ 是 "欧拉示性数".
以下是更多的例子：
| 图形 | χ | |
|---|---|---|
| 球体 |  |
2 |
| 环面 |  |
0 |
| 麦比乌斯带 |  |
0 |
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欧拉特征数也可以是负数。 这是 "六合五面体"：它有 10面（乍看好像更多，但其中一些 "内"表面其实是同一个面），24条棱和 12个顶点，所以： F + V − E = −2 |
欧拉示性数是拓扑学（空间性质的研究）的一个基本概念。
甜甜圈与咖啡杯
最后，为了避免不够周全，我们一定要给你看看其实甜甜圈和咖啡杯是一样的！
它们可以互相易形――变形成对方。
我们说这两个物件是 "异质同形" 的（源自希腊语 homoios = 相同 和 morphe = 形状）
好像柏拉图固体和球体是异质同形的。
（动画由维基百科用户：Kieff 提供）