正多边形的属性

多边形

多边形是边是直线的平面(二维)图形,例如三角形、四边形、五边形、六边形等等。

规则

"规则(正)多边形":

  • 所有长度相等,
  • 所有大小相等。

否则便是个 不规则多边形。

正五边形   不规则五边形
规则(正)五边形   不规则五边形

在这里我们只谈正多边形

属性

我们可以谈什么属性?首先,可以谈谈多边形的角。

外角

外角

外角是多边形任何一条边
与邻边的延长线之间的角。

多边形所有的外角加起来是 360°,所以:

每个外角等于 360°/n

n 是边的个数)

 

按 play 钮来看看。

正八边形的外角
(正八边形的)外角

例子:正八边形的外角有多大?

 

八边形有八条边,所以:

外角 = 360°/n = 360°/8 = 45°

外内角

内角

内角与外角都是在同一条线上,所以它们的和是 180°

内角 = 180° − 外角

外角 = 360°/n,所以:

内角 = 180° − 360°/n

这可以重排成:

内角   = 180° − 360°/n
    = (n × 180° / n) − (2 × 180° / n)
    = (n−2) × 180°/n

所以:

内角 = (n−2) × 180° / n

 

例子:正八边形的内角有多大?

正八边形有八条边,所以:

外角 = 360° / 8 = 45°

内角 = 180° − 45° = 135°

正八边形的内角
(正八边形的)内角

我们也可以用:

内角 = (n−2) × 180° / n

= (8−2) × 180° / 8 = 6 × 180° / 8 = 135°

例子:正六边形的内角和外角有多大?

正六边形

正六边形有六条边,所以:

外角 = 360° / 6 = 60°

内角 = 180° − 60° = 120°


名称:

"外接圆、内接圆、半径和边心距……"

这是多边形 "外面" 和 "里面" 的圆和半径,像这样:

边心距内接圆、半径、外接圆

 

"外面" 的圆叫外接圆,它连接多边形所有的顶点(角)。

外接圆的半径也是多边形的半径

 

"里面" 的圆叫内接圆,它刚好接触多边形每一条边的中点。

内接圆的半径是多边形的边心距

 

(不是所有的多边形都有这些属性的,但三角形和正多边形有)。

拆成三角形

六边形三角形边和边心距

我们可以把多边形拆成三角形来更具体地分析多边形的属性:

注意:

三角形的面积是底乘高的一半:

一个三角形的面积 = 底 × 高 / 2 = 边长 × 边心距 / 2

整个多边形的面积是所有三角形面积的和(总共有 "n" 个):

多边形面积 = n × 边长 × 边心距 / 2

周长是 = n × 边长,所以:

多边形面积 = 周长 × 边心距 / 2

小三角形

再把三角形一分为二:

正多边形扇形

(注意:角的单位是弧度,而不是角度

 

小三角形是直角三角形,我们可以用 正弦、余弦和正切函数来分析边长、半径、边心距和 "n" 的关系:

sin(π/n) = (边长/2) / 半径 右箭头 边长 = 2 × 半径 × sin(π/n)
cos(π/n) = 边心距 / 半径 右箭头 边心距 = 半径 × cos(π/n)
tan(π/n) = (边长/2) / 边心距 右箭头 边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

还有很多类似的关系(大部分都是可以互相"转换的"),但在这里我们就谈这么多。

更多面积公式

如果我们只知道边心距,我们可以这样求面积:

小三角形的面积 = ½ × 边心距 × (边长/2)

 

从上面的 "tan" 公式,我们知道:

边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

因此:

小三角形面积   = ½ × 边心距 × (边心距 × tan(π/n))
    = ½ × 边心距2 × tan(π/n)

每边有两个这样的三角形,总共有 2n 个:

多边形面积 = n × 边心距2 × tan(π/n)

如果我们不知道边心距,我们可以用同一个公式,但以半径或者边长为变量:

多边形面积 = ½ × n × 半径2 × sin(2 × π/n)

多边形面积 = ¼ × n × 边长2 / tan(π/n)

数值列表

这是不同多边形的边长、边心距和面积的值(半径为 "1"):

种类 名称
(正多边形)
边个数
(n)
图形 内角 半径 边长 边心距 面积
三角形
等边
三角形
3 等边三角形 60° 1 1.732
(√3)
0.5 1.299
(¾√3)
四边形
正方形 4 正四边形 90° 1 1.414
(√2)
0.707
(1/√2)
2
五边形
五边形
5 正五边形 108° 1 1.176 0.809 2.378
六边形
六边形
6 正六边形 120° 1 1 0.866
(½√3)
2.598
((3/2)√3)
七边形

七边形
7 正七边形 128.571° 1 0.868 0.901 2.736
八边形
八边形
8 正八边形 135° 1 0.765 0.924 2.828
(2√2)
…… ……              
五十边形
五十边形
50   172.8° 1 0.126
0.998
3.133
(注意:数值精确到三位小数)

 

正多边形图

这是上面列表的图,边个数从 3 到 30。

留意当 "n" 越来越大,边心距趋近 1(等于半径),面积趋近 π = 3.14159……和圆形一样。

边长趋近什么?