单位圆

单位圆。圆心在 (0, 0)

 

"单位圆" 是半径为 1 的圆。

单位圆非常简单,所以用来学习长度和角很合适。

圆心放在图上 x轴和 y轴的交点。

 

单位圆圆心在 (0, 0)

正弦、余弦和正切

因为半径是 1,我们可以直接测量正弦、余弦和正切的值。

单位圆圆心角 0

如果角 θ是 0°呢?

cos 0° = 1、sin 0° = 0、tan 0° = 0

单位圆圆心角 90

如果角 θ是 90°呢?

cos 90° = 0、sin 90° = 1、tan 90°是未定义

自己来试试!

自己来试试!移动鼠标来看不同的角(以弧度角度为单位)对正弦、余弦和正切的影响

笛卡尔坐标里, "角边" 可以是正数或负数,因此,正弦、余弦和正切也可以是正数或负数.

 

也去玩玩互动单位圆

 

单位圆圆心在 (0, 0)

勾股

勾股定理说明:在直角三角形里,斜边的平方等于另外两边的平方的和:

x2 + y2 = 12

但 12 是 1,所以:

x2 + y2 = 1
单位圆的方程)

因为 x=cos 和 y=sin,我们得到:

(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1

一个有用的 "恒等式"

重要的角:30°、45° 和 60°

你应该尝试牢记这些角度的正弦、余弦和正切的值:30°、45° 和 60°

要牢记东西可能有点辛苦,但这会对你在考试或需要做快速运算的时候很有帮助。

牢记这些!

角度 正弦 余弦 正切=正弦/余弦
30° 1/2 root3/2 1 √3 = √3 3
45° root2/2 root2/2 1
60° root3/2 1/2 √3

怎样去记?

单位圆 123

这样想: "1、2、3"

  sin(30°)  =   1   =   1   (because √1 = 1)
2 2
  sin(45°)  =   2
2
  sin(60°)  =   3
2

 

余弦(cos)就是 "3, 2, 1"

  cos(30°)  =   3
2
  cos(45°)  =   2
2
  cos(60°)  =   1   =   1   (because √1 = 1)
2 2

只要记住三个数

只要记住三个数就够了: 1  ,   √2   and   √3
2 2 2

因为余弦正弦都是这三个数:

单位圆 cos 1/2、根2/2、根3/2   单位圆 sin 根3/2、根2/2、1/2

正切呢?

正切 = 正弦/余弦,所以我们可以这样做:

tan(30°) = sin(30°)  =  1/2  =  1



cos(30°) √3/2 √3
  但写 1/√3 可能会扣分
(见有理分母),所以应该这样写:√3/3
tan(45°) = sin(45°)  =  √2/2  = 1 


cos(45°) √2/2
   
tan(60°) = sin(60°)  =  √3/2  = √3 


cos(60°) 1/2
   

画个草图

画个草图也可以帮你记住 30° 和 60°:

画一个边长为 2的三角形   三角形 60 60 边长 2

把三角形一分为二。勾股定理说新的边的长度是 √3

12 + (√3)2 = 22
1 + 3 = 4
  三角形 30 60 边长 1、2、根3
然后用正弦、余弦和正切的定义来记   三角形 30 60 边长 1、2、根3

例子:sin(30°)

正弦:

正弦是对边除以斜边
sin(30°) = 对边 斜边 = 1 2

 

象限 (+, +) (-, +) (-,-) 和 (+,-) 反时针方向

全圆

要知道全圆里的正弦和余弦的值,我们需要覆盖每一个象限,并且根据笛卡尔坐标加上正确的正负号:

 

注意我们先写余弦(cos),再写正弦(sin),所以就是(余弦,正弦)

单位圆角度

保存为PDF格式文件

例子:cos(330°) 是多少??

单位圆 330

 

画个草图,我们可以看到答案是 "长" 的值: √3
2

这是同一个单位圆,不过角的单位是弧度

单位圆弧度

例子:sin(7π/6) 是多少?

单位圆 7pi/6

 

想: "7π/6 = π + π/6",然后画草图。

我们可以看到答案是负数,是 "短" 的值:−½

 

 

 

脚注:这些值是怎样计算出来的?

我们可以用方程 x2 + y2 = 1 来求 xy 的长度(当半径等于 1 时,答案是 cossin):

三角形 45 在单位圆里

45度

45度:x 与 y 相等,所以 y=x

x2 + x2 = 1
2x2 = 1
x2 = ½
x = y = √(½)

三角形 30 60 在单位圆里

60度

把一个等边三角形 (所有边等长,所有角是 60°)在中间一分为二。

"x" 边变成 ½,

"y" 边是:

(½)2 + y2 = 1
¼ + y2 = 1
y2 = 1-¼ = ¾
y = √(¾)

30度

30°就是 x 和 y 对调了的 60°,所以 x = √(¾)y = ½

并且:

√(½) 也等于:   简化 sqrt(1/2) = sqrt(2/4) = sqrt(2)/sqrt(4) = sqrt(2)/2
√(¾) 也等于:   简化 sqrt(3/4) = sqrt(3)/sqrt(4) = sqrt(3)/2

结果是(和上面一样):

角度 正弦 余弦 正切=正弦/余弦
30° 1/2 root3/2 1 √3 = √3 3
45° root2/2 root2/2 1
60° root3/2 1/2 √3