年金

年金是在每隔一定相等的时期,收到的相同数量的款项

例子:你在十年里内星期收到 ¥200。

你怎样得到这个收入?买!

像这样:

例子:你买了一个年金

你付出的款项是 ¥20,000

在未来 5年你每月会收到¥400 的年金

这划算吗?

例子(续):

5年内每个月收到 ¥400 = ¥400 × 12 × 5 = ¥24,000

乍看不错……你收回的比你付出的要多。

为什么你的收入(¥24,000)多于你买年金时付出的金额(¥20,0000)

因为现有的钱比将来的钱更有价值。

拿了你 $20,000,对方可以用那些钱来投资赚利息,或者用其他方法去赚钱。

那么年金的价格应该是多少?

年金的价值

我们先看看年利率 10%的作用(想象年利率 10%的银行户口):

例子:10% 年利率,本金 ¥1,000

现有 ¥1,000,一年后可得到 ¥1,000 x 10% = ¥100 利息。

现有 ¥1,000,一年后便是 $1,100

现值 ¥1000 与终值 ¥1100

所以明年的 ¥1,100 和现在的 ¥1,000 是 一样的(当年利率为 10% 时)。

明年的 ¥1,100 的现值¥1,000

所以当年利率为 10% 时:

假设我们的年金是每年收付 ¥500,为期 4年

你明年会第一次收到 ¥500……这 ¥500 在现在的价值是多少?

$500 ÷ 1.10 = ¥454.55 现值(到最近一分)

你第二次的收入在 2年后。我们怎样求它的现值?求上一年的值,然后求再上一年的值:

¥500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = ¥413.22 现值

第三和第四个收付也可以同样地转换为现值:

¥500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = ¥375.66 现值
¥500 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 ÷ 1.10 = ¥341.51 现值

最后我们把这 4个现值加起来:

年金价值 = ¥454.55 + ¥413.22 + ¥375.66 + ¥341.51
年金价值 = ¥1,584.94

我们成功做了我们第一个年金计算!

当年利率为 10%时,4个¥500 的年金收付额的现值是 ¥1,584.94 

再举个例:

例子:年金每月收付 ¥400,为期 5年。

月利率是 1%。

12个月一年,5年就是 60个收付……以及很多计算!

有容易点儿的方法吗?有:

年金的现值: PV = P × 1 − (1+r)−n r

我们先用上面 4年,¥500 的例子试试。

利率是 10%,所以 r = 0.10

有 4个年金收付,所以 n=4,每个收付是 ¥500,所以 P = ¥500

PV = ¥500 × 1 − (1.10)−4 0.10
PV = ¥500 × 1 − 0.68301…… 0.10
PV = ¥500 × 3.169865……
PV = ¥1584.93

和上面算出来的答案一样(稍微精确一点儿)

好,我们现在试试 ¥400,60个月的例子:

月利率是 1%,所以 r = 0.01

有 60个年金收付,所以 n=60,每次年金额是 ¥400,所以 P = ¥400

PV = ¥400 × 1 − (1.01)−60 0.01
PV = ¥400 × 1 − 0.55045…… 0.01
PV = ¥400 × 44.95504……
PV = ¥17,982.02

比逐个收付分开来算简单很多。

反过来

如果你已经知道年金的价值,但也想知道每次的收付额?

想象你有 ¥10,000,你想在未来 6年每个月有固定收入。如果你买一个年金,你每个月会收到多少(假设月利率是 0.5%)?

我们需要改变上面公式的主项

开始:   PV = P × 1 − (1+r)−n r
换边:   P × 1 − (1+r)−n r = PV
每边乘以 r   P × (1 − (1+r)−n) = PV × r
每边除以 1 − (1+r)−n :   P = PV × r 1 − (1+r)−n

得到:

P = PV × r 1 − (1+r)−n

 

你有 ¥10,000,你想在未来 6年里每个月得到固定年金,你每月收到的金额是多少(假设月利率是 0.5%)?

月利率是 0.5%,所以 r = 0.005

总共有 6x12=72 个收付,所以 n=72PV = ¥10,000

P = PV × r 1 − (1+r)−n
P = $10,000 × 0.005 1 − (1.005)−72
P = ¥10,000 × 0.016572888……
P = ¥165.73

你喜欢哪个?现在有 ¥10,000 还是每月得到 ¥165.73,连续 6年?

 

脚注:

你不需要记住,但你可能想知道公式是怎样来的:

n个收付,每个是 P,利率为 r,我们可以这样加起来:

P × 1 1+r + P × 1 (1+r)×(1+r) + P × 1 (1+r)×(1+r)×(1+r) + …… (n 项)

我们可以用指数来写。 1 1+r 是 (1+r)−1 and  1 (1+r)×(1+r) 是 (1+r)−2 等等:

P × (1+r)−1 + P × (1+r)−2 + P × (1+r)−3 + …… (n 项)

把 "P" 放到前面:

P × [ (1+r)−1 + (1+r)−2 + (1+r)−3 + …… (n 项) ]

再简化下去就有点复杂!我们需要用等比数列及它的和来做……最后的结果是:

PV = P × 1 − (1+r)−n r