复利

你可能想先阅读利息简介

复利的计算是先计算第一期的利息,把利息加到本金上,然后用新的本金计算下一期的利息,就这样重复下去:

复利 $1000,10%=¥100,¥1100,10%=¥110,¥1210,10%=¥121,等等

金额增加得越来越快,像这样:

复利图 7年 10%

这是 5年 10% 的计算:

初始借贷额
利息
终极借贷额
0 (现在)
¥1,000.00
(¥1,000.00 × 10% = ) ¥100.00
¥1,100.00
1
¥1,100.00
(¥1,100.00 × 10% = )) ¥110.00
¥1,210.00
2
¥1,210.00
(¥1,210.00 × 10% = ) ¥121.00
¥1,331.00
3
¥1,331.00
(¥1,331.00 × 10% = ) ¥133.10
¥1,464.10
4
¥1,464.10
(¥$1,464.10 × 10% = ) ¥146.41
¥1,610.51
5
¥1,610.51

我们可以逐步来做:

  1. 计算利息(= "初始借贷额" × 利率)
  2. 把利息加到 "初始借贷额" 上来得到年底的 "终极借贷额"
  3. 年底的 "终极借贷额" 是下一年的 "初始借贷额"

简单,但有很多计算。

但是,用巧妙的数学就可以找到捷径。

做个公式

我们可以为以上的算法做个公式……先看第一年:

41,000.00 + (¥1,000.00 × 10%)= ¥1,100.00

这可以重排为:

复利逐步来


加 10% 就是乘以 1.10

+10% -> x1.10

所以这个:   ¥1,000 +(¥$1,000 x 10%)= ¥1,000 + ¥100 = ¥1,100
和这个是相同的:   ¥1,000 × 1.10 = ¥1,100

注意:把利率除以 100 来转换为小数:

10% = 10/100 = 0.10

去这里学习百分比。实际运算时只要把小数点向左移两位,像这样:

这样我们可以一步就做好一年的计算:

  1. 把 "初始借贷额" 乘以 (1 + 利率)来得到 "终极借贷额"

好了,窍门是……

……公式在任何年份都适用!

像这样:

复利 ¥1000 x1.1 ¥1100 x1.1 ¥1210 x1.1 ……

这样乘 5次,我们就可以直接计算第五年的金额:

¥1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = ¥1,610.51

指数(幂)来写比较简单:

¥1000 x 1.10^5 = ¥1610.51

一步就做了上面列表里的计算。

公式

上面是个实例,但我们也可以用字母和符号来做一个一般通用的公式:

PV x (1+r)^n = FV

(看到和上面的计算是一样的吗?PV = ¥1,000、 r = 0.10, n = 5、 FV = ¥1,610.51)

这是另一个写法,"FV" 在左边:

FV = PV × (1+r)n

其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率
n = 期数

灯泡 这就是复利的基本公式。

它非常重要,值得牢记。

例子

我们现在来看一些例子……
…… 如果年期是 15年呢?……改变 "n" 的值:

¥1000 x 1.10^15 = ¥4177.25

……如果年期是 5年,但利率是 6% 又怎么样?

¥1000 x 1.06^5 = ¥1338.23

我们把
6% 代入公式::
6% -> 1.06

……20年,8%?你自己来!

 

"反过来"求现值

假设你想在 5年后得到 ¥2,000,利率是 10%。你现在始要投资多少钱

换句话说,你已知道终值,现在你想求现值

我们知道把现值(PV)乘以 (1+r)n 就可以得到终值(FV),所以我们反过来用除法

pv 与 fv

因此,公式是:

PV = FV / (1+r)n

答案是:

PV = ¥2,000 / (1+0.10)5 = ¥2,000 / 1.61051 = ¥1,241.84

就是说,¥1,241.84 的投资,利率为 10%,5年后会增长到 ¥2,000。

再举个例:年利率是 8%,你现在要投资多少钱才能在 10年后得到 ¥10,000?

PV = ¥10,000 / (1+0.08)10 = ¥10,000 / 2.1589 = ¥4,631.93

所以,投资¥4,631.93,年利率为 8%,10年后就是 ¥10,000

 

复利计算期

复利不一定是每年计算,计算期也可以是每月、每日等等。如果不是每年计算就应该清晰地写出来!

例子:你借了 ¥1,000,年期是 12个月,利率是 "每月 1%",到期时你要还多少钱?

用终值的公式,以 "n" 为月数:

FV = PV × (1+r)n = ¥1,000 × (1.01)12 = ¥1,000 × 1.12683 = ¥1,126.83 = 需要还的款项

也可以是年利率,一年里计算几次利息。这个安排称为 定期复利

例子:6% 年利率,"按月计算利息"。这不代表每个月的利率是 6%,它的意思是每个月 0.5%(6% 除以 12个月),算法是这样:

FV = PV × (1+r/n)n = ¥1,000 × (1 + 6%/12)12 = ¥1,000 × (1.005)12 = ¥1,000 × 1.06168…… = ¥1,061.68 = 需要还的款项

实际年利率是 6.168% (¥1,000 增加到 ¥1,061.68)

所以一定要小心去了解借款的条款!

APR (年度百分率)

房贷广告

房贷广告通常都相当复杂(有时是故意复杂的!),时常你会看到 "APR" (年度百分率)。

APR 就是 "年度百分率"…… 它的意思是你一年里实际上要支付多少 (包括复利、其他收费等等)。

其实是 6.335%

一些例子:

例子:"1% 月利率" 实际上等于 12.683% APR(没有其他收费)

并且:

例二:"6% 年利率,按月计算复利" 等于 6.168% APR(没有其他收费)

如果你要比较,比较 APR(年度百分率)。

 

歇会儿!

到目前为止,我们学习了用 (1+r)n 来把现值(PV)与终值(FV)互相转换,也学习了贷款利息的一些细节。

上半场完了!我们休息一下。等会儿我们还会看两个课题:

 

求利率

如果你知道现值、终值和期数,你就可以求利率。

例子:你有 ¥1,000,你想它在 5年后增长到 ¥2,000,你需要的利率是多少?

公式是:

r =(FV / PV)1/n − 1

计算器指数键

注意:"1/n" 是个 分数指数,先计算 1/n,然后把结果作为指数输入计算器。

例如,20.2 是这样输入的:2,"x^y", 0,., 2,=

我们只需要"代入"数值来得到答案:

r =(¥2,000 / ¥1,000))1/5 − 1 =(2)0.2 − 1 = 1.1487 − 1 = 0.1487

0.1487 就是 14.87%

所以你需要 14.87% 的利率来把 ¥1,000 在 5年后变成 ¥2,000。

再举个例:把 ¥1,000 在 20年后变成 ¥5,000 的利率是多少?

r =(¥5,000 / ¥1,000)1/20 − 1 =(5)0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838

0.0838 就是 8.38%

所以 8.38% 在 20年后会把 ¥1,000 变成 ¥5,000。

求期数

如果你知道终值、现值和利率,你就可以求期数。

例子:利率是 10%,你想知道需要多少期来把 ¥1,000 变成 $2,000。

公式是(注意:公式用了自然对数函数 ln):

n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)

计算器 ln 键

好计算器都会有 "ln" 函数性能。

你也可以用 log,但不能两个一起用。

我们 "代入" 数值:

n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27

真神奇!如果利率是 10%,我们需要 7.27年 来把 ¥1,000 变成 ¥2,000。


再举个例:利率是 5%,把 ¥1,000 变成 ¥10,000 需要多少年?

n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19

47年!这不稀奇,因为金额大了十倍,而利率只不过是 5%。

 

复利计算器  

计算器

我做了个复利计算器去用这些公式做运算。

总结

复利的基本公式是:

FV = PV (1+r)n 终值,其中:
 
  • FV = 终值、
  • PV = 现值、
  • r = 利率(以小数表达)、
  • n = 期数
   
重排这个公式(见导出复利公式,我们便可以从已知任何三个去求第四个变量:
   
PV = FV(1+r)n 现值,已知终值、利率和期数。
   
r = (FV/PV)(1/n) − 1 利率,已知现值、终值和期数。
   
n = ln(FV / PV)ln(1 + r) 数,已知现值、终值和利率(注意:ln自然对数函数)

年金

到目前为止,我们都是看一个数值怎样随着时间改变……但如果有一系列的数值,例如 定期还款年度投资呢?你可以去年金网页了解这个课题.