代数数

我们日常使用的数都是代数数。
但有些不是,例如 π)和 e欧拉数)。

代数数

代数数是任何有理系数非零多项式的根。

简单地说,设有一个多项式(例如):

2x3 − 5x + 39

x 是代数数。

因为这符合了所有条件:

我们来看一个代数数:

例子:2x3 − 5x + 39

我们想求 x 的值,而 2x3 − 5x + 39 等于 0

x = −3 是一个答案,因为 2(−3)3 − 5(−3) + 39 = −54+15+39 = 0

所以 −3 是个代数数

我们用另一个多项式试试(记住:系数必须是有理数)。

例子:2x3 − ¼ = 0

系数是 2 and −¼,都是有理数。

x = 0.5,因为 2(0.5)3 − ¼ = 0

所以 0.5 是个代数数

我们日常遇见的数大部分都是代数数。

不是代数数?那么就是超越数!

一个数不是代数数,就是超越数.

我们知道 π)和 e欧拉数不是代数数,所以是超越数。

2 的平方根呢?

例子:√2(2 的平方根)是代数数还是超越数?

√2 是 x2 − 2 = 0 的根,所以是个代数数(而不是超越数)。

要证明一个数不是代数数其实是非常困难的。

属性

所有代数数都是可计算的,所以也是可定义的。

代数数集是一个可数集。整数集是 "可数"的,所有代数数能与全体整数建立一一对应,所以代数数也是可数的。

虚数 i 是个代数数(它是 x2 + 1 = 0 的根)。

所有有理数都是代数数,但无理数可能是,也可能不是,代数数。