数的演变

数的演变

让我们一起去体验一个历奇之旅……

……在数字宇宙里的奇妙旅程。

启航!

问:数是什么?

答:用来计数的东西!

数数(正整数)

我们可以用数来计数:1、2、3、4……

从远古开始,人类已经用数来计数。这是个自然不过的行为。

所以一开始就有:

数数:{1, 2, 3, ...}(数数是英语 "counting number" 的直译,中文通常称为正整数)

在很长一段时间,人类在日常生活里只需要 "数数" 就够用了。

对我们来说是个自然的概念,但对早期的人类则不是这样……如果什么都没有,你怎样计数?

例子:你可以数有多少条狗,但你不能数空间:

2条狗   没有狗
两条狗   零条狗?零只猫?

空的草地就是空的草地!

位置标志符

大约 3,000年前,人们开始使用零来分辨好像 440 等的数字,以避免混淆。

人们用一个 "位置标志符",例如空位或特别符号,来显示 "这个位置没有数字"

5 2

所以 "5 2" 的意思是 "502"

(5百,没有十,2个一)

这就是零的初始概念。一千年后,人们开始把零当作一个

我们可以这样想了:

"我有 3个橙子,我全都吃了,现在我有个橙子……!"

整数

把零加到数数中就是一个新数集

叫 "非负整數":

非负整数:{0, 1, 2, 3, ……}

非负整數直线

自然数

非负整數也叫 "自然数",但自然数的定义是存在争议的:

在中国大陆,小学教科书对 "自然数" 定义是这样的:

所以如果要绝对清晰,就要声明包不包括零。

负数

数学的历史是充满了询问问题与寻找答案的!

一个好问题是

"如果你可以向一个方向走,你也可以向相反方向走吗?"

我们可以向前数:1、2、3、4……

……那么,反过来数呢?

3、2、1、0…… 接下来是……

  零以下的实数直线

答案是:负数:

实数直线

现在可以向前及向后数了

但数怎样可以是 "负" 的?

小于零就是负数。

温度计

一个简单的例子是温度

我们把摄氏零度(0° C)定义为水结冰的温度……再冷就是负的温度了。

所以−20° C 是零下 20°。

 

负一头牛

负头牛?

理论上可以有负一头牛!

想象这个清形……如果你刚卖了两头公牛,但你只找到一头交给买家……你便是拥有负一头牛……你欠一头牛

所以负数是实际存在的,我们要另一个数集了……

整数

把负整数和非负整数的合拼就是一个新数集,称为整数

整数:{……、-3、-2、-1、0、1、2、3、……}

整数包括零、正整数(数数)和负整数,它向正负方向无穷延续。

实数直线

 

分数

半边橙子

如果你想和另一个人共享一个橙子,你需要把橙子切成一半。

你发明一种新的数字了!

你用一个数(1)除以另一个数(2)来得到一半(1/2)

同样,三个人(3)要共享四(4)块饼干……每个人得到(4/3)块。

新数种,叫:

有理数

任何可以写成分数的数就是有理数。

所以,若 "p" 和 "q" 是整数(如上),则 p/q 是个有理数。

例子:若 p 是 3 而 q 是 2,则:

p/q = 3/2 = 1.5 是个有理数

唯一例外是当 q 等于零时,因为除以零是未定义的。

有理数:{p/q:p 和 q 是整数,q 不等于零}

所以一半(½)是个有理数。

2 也是有理数,因为你可以把 2 写为 2/1

所以,有理数包括:

甚至 13.3168980325 也是个有理数。

13.3168980325 = 133,168,980,325 / 10,000,000,000

所有的数都包括在有理数里了,对不?

可是,还有更多

人就是好奇的……在希腊数学家毕达哥拉斯的时代,有一个很具争议性的问题:

2 的平方根 边长为 "1" 的正方形的对角线有多长?

答案是 2 的平方根,等于 1.4142135623730950……

但它不是一般的数,像 3 或三分之五……

……实际上问题的答案是不能用分数来表达的

2 的平方根 ≠ p/q

……所以它不是个有理数 (去这里了解更多)

惊艳!有些数不是有理数!它们叫什么?

什么 "不是有理" 的……?无理!

无理数

2 的平方根(√2)是个无理数。它被称为无理数,因为它并不是有理数(不能以两个整数的比来表达)。不是横蛮,只是无理。

我们知道很多无理数。圆周率――Piπ)是个有名的无理数。

有用

无理数很有用。你需要无理数来

所以我们又需要一个

包括无理数的的数集……

实数

哈!又一个新名词!

实数包括:

实数:{x:x 是有理数或无理数}

实数可以是实数直线上的任何一点

上面只显示几位小数(它只是个简单的计算器),
但实际上实数可以有很多位小数

实数直线的任何位置的任何点,应该差不多了吧!

但还有一个非常有用的数种。这数种也是源于一个问题的。

虚想……

问题是:

"负一平方根吗?"

换句话说,什么数与自己相乘是 −1

小心想想:一般的数和自己相乘的结果都不会是负数:

什么数与自己相乘是−1

通常这是不可能的,但是……

"虚幻成真"

因此…….

虚数

负一的平方根

……我们虚想负一的平方根存在

我们甚至给它一个特定符号:拉丁字母 i

我们可以用它来解答这样的问题:

例子:−9 的平方根是多少?

答案:√(−9) = √(9 × −1) = √(9) × √(−1) = 3 × √(−1) = 3i

答案里还有个 i,但这是个合理及一致的答案。

i 有个有趣的属性。它的平方,(i×i)等于 −1,是个实数。实际上,这是虚数的严格定义:

虚数:一个平方为实数的数。

并且,i(−1 的平方根)乘以任何实数是个虚数。所以以下的都是虚数:

虚数在很多邻域都很有用,例如电学和电子学。

实数与虚数

当初,虚数被视为不实际的,所以被称为 "虚"数。实数的名称就代表它是实际的。

因此,这些名字都是经过历史过滤的。现实世界里不能只用 "实"数,而虚数也不是"虚无缥缈"的……两种数都同样有用!

其实实数与虚数经常用在一起……

"把实数虚数结合起来会怎么样?"

复数

把实数与虚数放在一其是一个新数种,叫复数。这是一些例子:

复数有实部和复部,但每个部分都可以是零:

所以实数也是复数(复部为零):

  • 4 是个复数(因为它是 4 + 0i

同样,虚数也是复数(实部为零):

  • 7i 是个复数(因为它是 0 + 7i

所以复数包括所有实数、所有虚数和所有实数与虚数的拼合。

 

就是这么多!

这就是数学里所有数的种类。

从数数到复数。

也有其他的数,因为数学博大精深,但现在我们就只讲这么多。

总结

这是全部的数种:

数的种类 简介
数数(正整数) {1, 2, 3, ……}
非负整数 {0, 1, 2, 3, ……}
整数 {……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……}
有理数s p/q:p 和 q 是整数,q 不是零
无理数 非有理数
实数 有理数和无理数
虚数 平方是个负实数
复数 实数与虚数的结合

 

尾注

历史

数学的历史广泛渊远,不同的文化(希腊、罗马、亚拉伯、华夏、印度、欧洲)跟随不同的路径去探索数学,有很多 "谁先发现?" 的问题,但大致上和我这里讲的次序差不多。

问题

敢于发问,像

这些问题在开始时往往引起争议(甚至嘲笑!),但最终都导致伟大的突破。

今天人们在问什么问题呢?

轮到你了!

每一次学习新东西时,你都应该问这两个问题:

可以反过来吗?

  • 正数变成负数
  • 平方变成平方根
  • 等等

用在其他地方可以吗?

  • 如果分数是一个数,我们可以把分数相加、相减等等……吗?
  • 可以把复数开方吗?(可以吗?)
  • 等等

可能有一天你的问题会导致伟大的突破!