黄金比例

黄金比例(符号是希腊语字母 "phi",如左边显示)
是个特别的数,大约等于 1.618

它出现在很多不同领域,例如几何、艺术、建筑等等。

背后的概念

当我们把直线线段如下分开,黄金比例就会出现:

整条线的长度除以长的部分的长度
等于
长的部分的长度除以短的部分的长度

自己来试试(移动滑标):

美感

这个矩形的边长符合黄金比例,它像不像一般的画框?

有些艺术家和建筑师觉得具有黄金比例的形状是最美丽的。

觉不觉得这是"最美观"的矩形?

可能是,也可能不是,这是你个人的喜好!

 

很多建筑物和艺术品都包含着黄金比例,例如希腊的帕特农神庙,但我们不知道神庙是不是故意这样设计的。

实际值

黄金比例等于:

1.61803398874989484820……

数位无穷并无规律地延续。黄金比例是个无理数,等会儿我会再具体解释。

计算

你可以自己计算黄金比例的值。从任何一个数开始,然后:

用计算器,不停重复按 "1/x", "+", "1", "="。我用 2 开始,得到这个结果:

1/数 加 1
2 1/2=0.5 0.5+1=1.5
1.5 1/1.5 = 0.666…… 0.666... + 1 = 1.666...
1.666…… 1/1.666…… = 0.6 0.6 + 1 = 1.6
1.6 1/1.6 = 0.625 0.625 + 1 = 1.625
1.625 1/1.625 = 0.6154... 0.6154…… + 1 = 1.6154……
1.6154……    

越来越接近了!

但要做很多项才能接近实际的数值,不过也有其他好的方法去快一点计算到几千位小数。

画出来

这是画黄金比例矩形的一个方法:

然后把正方形扩大成为黄金比例矩形(如图)。

公式

上面的矩形显示了一个简单的黄金比例公式。

一边的长度是 1,另一边的长度是:

5 的平方根大约是 2.236068,所以黄金比例大约是 (1+2.236068)/2 = 3.236068/2 = 1.618034。这是一个快速而简单的公式来求黄金比例的值。

有趣的事实:黄金比例也等于 2 × sin(54°)。你可以用计算器来检查一下!

斐波那契序列

黄金比例与斐波那契序列有个特别的关系:

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……

(下一项是上两项的和。)

有趣的是:两个连续的斐波那契数的比和黄金比例大约相等

这两个斐波那契数越大,比就越接近黄金比例:

A
B
  B/A
2
3
  1.5
3
5
  1.666666666……
5
8
  1.6
8
13
  1.625
……
……
  ……
144
233
  1.618055556……
233
377
  1.618025751……
……
……
  ……a

其实我们不需要从 2 和 3 开始。这里我用 192 和 16 开始(得到的序列是 192、16、208、224、432、656、1088、1744、2832、4576、7408、11984、19392、31376……):

A
B
 
B / A
192
16
  0.08333333……
16
208
  13
208
224
  1.07692308……
224
432
  1.92857143……
……
……
  ……
7408
11984
  1.61771058……
11984
19392
  1.61815754……
……
……
  ……

最无理的……

我觉得黄金比例是无理的书。原因是……

黄金比例的其中一个属性是
它可以用自己来定义自己:
  (用数值来写就是:1.61803…… = 1 + 1/1.61803……)
   
只可以展开为这个
无穷伸延的分数(叫 "连分数"):

所以它存在于一般简单分数之间。

但是,很多其他无理数都相当接近有理数(例如圆周率 Pi = 3.141592654…… 相当接近 22/7 = 3.1428571……)

 

五角星形

这不是巫术!五角星形是著名的魔术和神圣的符号。它也含有黄金比例:

去了解更多五角星形

别名

黄金比例有时也被称为黄金分割黄金数神圣比例神圣分割等等。