n次方根

n个 "n次方根" 相乘的结果是原来的数

" n次?"

1次、2次、3次、4次、5次……n次……

在讨论一般情形时,我们用 "n",而不用 "4次"、"16次" 等等。

n次方根


2   a的平方   就像把平方根相乘来得回原来的数。
3   cube root a   立方根相乘来得回原来的数。
……   ……  
……
n   nth root a   nn次方根相乘来得回原来的数。

这是描述方根的一般方法
(所以可以是 2次、9次、324次、或任何次方)

n次方根符号

这是 "n次方根"的符号,就是"方根" 符号(平方根)旁边加个小 n 来代表 n次方根。

应用

我们可以这样使用 n次方根:

问题:在这个方程里 "n" 是多少?

nth root 625 is 5

答案:我知道 625 = 54,所以 625 的 4次方根必然是 5:

4th root 625 is 5

我们也可以用 "n",因为我们想作一般的描述:

例子:当 n 是奇数时 n次方根 a^n  (下面会再讲这个)。

为什么叫 "根" ……?

树根

看到"根"字,你应该想:

"我知道树,但它的根是什么?"

例子:在 √9 = 3 里,"树" 是 9,根是 3

属性

知道 n次方根是什么后,我们来了解它的属性:

乘法与除法

我们可以把方根符号里的乘法 "拆出来":

ab的n次方根
如果 n是偶数,a 和 b 都需要 ≥ 0)

我们可以用这个来简化代数方程和一些计算:

例子:128的立方根

除法也一样:

a除 b的n次方根
a≥0,b>0)
(b 不能是零,因为不能除以零)

例子:

1除以64的3次方根

加法与减法

但是,就我们不能在加法或减法里这样做!

不! 加和减不能在n次方根里分配 不!

例子:勾股定理说:

直角三角形   a2 + b2 = c2

所以我们可以这样求 c:

c = √(a2 + b2)

等于 c = a + b,对不?

这是很容易犯的错误。这也代表在方根里的加法和减法是比较难处理的。

 

指数与方根

"=" 号一边的指数可以变成另一边的方根:

箭头   若 a 的 n次方等于 b 则 a=b的n次方根   (当 n 是偶数时,b 一定要是 ≥ 0)

例子:5的4次方

 

a 的 n次方的 n次方根

一个指数为 n 的数的 n次方根就是原来的数 ……

当 a 是正数(或零)时:

箭头   a^n的n次方根       (就是当 a ≥ 0

例子:方根例子

…… 或者当指数是奇数时:

箭头   a^n的n次方根       (就是当 n 是奇数时)

例子:放根例子

…… 但当 a 是负数,并且指数是偶数时:

平方的平方根

留意 -3 变成 +3 ,吗?

…… 所以: 箭头   a^n的n次方根 (当 n 是偶数时)

(注意:|a| 的意思是 a 的绝对值,就是说负数变成正数)

例子:放根例子

所以必须小心!去阅读负数的指数来了解更多。

在列表里会清楚一点:

  n 是奇数 n 是偶数
a ≥ 0 a^n的n次方根 a^n的n次方根
a < 0 a^n的n次方根 a^n的n次方根

 

 

a 的 m次方的 n次方根

现在我们来看当指数不等于方根时的情形(mn)。

箭头   a

例子:27的平方的立方根 squared

所以 …… 我们可以把指数从 n次方根里 "拿出来"。有时这是有用的。

更有用的是 …… 我们可以把指数与方根结合成为一个新的指数:

箭头 a 例子:4的6次方的立方根

这是因为 n次方根指数为 (1/n) 是一样的:

箭头 a 例子:2½ = √2(2 的平方根)

你也许想阅读分数指数来了解为什么!