超越数

超越数

若一个数不是代数数,它便是超越数

超越数的例子包括πe

代数数

什么是代数数?

简单来说,若有多项式(如例):

2x2 − 4x + 2 = 0

x代数数。(去阅读更多关于代数数的内容)。

所以超越数不是这样的数。但是,我们怎样可以找到超越数呢?

刘维尔数

在公元 1844年,约瑟夫·刘维尔发现了这个数:

= 0.11000100000000000000000100……
  (在第 n! 个小数位的数字是 1,其他小数位是 0.)

刘维尔数是个很有趣的数,因为:

约瑟夫·刘维尔发现了第一个超越数

这个数被命名为刘维尔常数。它是个刘维尔数。

更多超越数

直至公元 1873年,人类才证明了第一个不是 "故意创造" 的超越数。夏尔·埃尔米特证明了 e 是个3超越数.

在公元 1882年,费迪南德·冯·林德曼证明了 π 是个超越数。

实际上,虽然有很多超越数,但要证明一个数是超越数是非常困难的……

超越数很常见

大部分实数都是超越数。论证是:

超越函数

如超越数 "不是代数数" 一样,超越函数也 "不是代数函数"。

正式地说,超越函数是不能以有穷的步骤由初等函数及其反逆函数生成的函数。

一个超越函数的例子是正弦函数 sin(x)

 

 

脚注:刘维尔数

刘维尔数是一种特别的超越数,它们的值与有理数非常近似

正式地说,刘维尔数 是有以下属性的实数 x:对于任何正整数 n,有整数 pqq>1),而使

因为 x 是个无理数,所以 x 与任何 p/q 都必然有大于 0 的差距:(式子里 "0<" 的部分)

但右边的不等式表达了差距有多小。这个不等式的意思是:"作为 x 的近似值,p/q 可以无穷接近 x,但永远不能等于 x。刘维尔证明了如果一个数可以被有理数序列无穷接近,这个数便是个超越数。

另一个有趣属性是:对于一个既定的正整数 n,有无穷多双 (p,q) 可以符合上面这个不等式。