集合与维恩图

集合

衣服集合

集合是收集起来的一些东西。

例如,穿在身上的东西是个集合:鞋子、袜子、帽子、衬衫、裤子等等。

描述集合的方法是把东西放在大括号里:

{袜子,鞋子,腕表,衬衫,…}

也可以有数集:

十个好朋友

十个好朋友的集:

每个朋友是集的 "元素"(也称为 "成员")。我们通常用小写英语字母来代表元素。

 

足球队

假设阿力, 卡卡, 小狄和老韩踢足球

足球 = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩}

(就是说,集 "足球" 的元素是阿力、卡卡、小狄和老韩。)

 

网球

卡卡、小狄和翠翠打网球

网球 = {卡卡, 小狄, 翠翠}

 

我们把他们的名字放在两个圆里:

足球和网球集合

并集

从这两个图,你可以写下谁踢足球或打网球

这叫集的 "并集",符号是

足球 网球 = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩, 翠翠}

不是每个人都在这个集里 …… 只是踢足球或打网球(或两样都打)的朋友。

我们可以用个 "维恩图" 来显示这个关系:

足球与网球并集
维恩图:两个集的并集

维恩图是个高明的图,可以显示很多信息:

一个简单的图显示了很多。

交集

"交集" 是两个集里都在的元素。

在这个例子中就是踢足球并且打网球的 …… 就是卡卡和小狄。

交集的符号是倒转的大写英语字母 "U":

这是记法:

足球 网球 = {卡卡, 小狄}

用维恩图来表达:

足球和网球交集
维恩图:两个集的交集

 

怎样去记??

并集符号像个杯子

想象符号是个 "杯子":正常竖立的 可以比翻过来放的 盛多些水。

所以并集也比交集 ∩ 含有多些元素

差集

也可以把两个集 "相减"。

例如,从足球里减去网球就是找只踢足球但不打网球的人 …… 就是阿力和老韩.

记法是:

足球 网球 = {阿力, 老韩}

用维恩图来表达就是:

足球和网球差集
维恩图:两个集的差集

暂停:目前结论

三个集

也可以画 3个集的维恩图。

假设第三个集是 "排球"。小狄、兰子和翠翠打排球:

排球 = {小狄, 兰子, 翠翠}

我们用 "数学" 语言来写,以大写英语字母来代表这三个集:

维恩图像这样:

足球、网球和排球并集

3个集的并集:S T V

从维恩图可以看到:

我们更具体地看看并集和交集 ……

足球、网球和排球集合
这是集 S

S = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩}

 

足球、网球和排球集合,网球和排球并集
这是集 T 和 集 V 的并集

T V = {卡卡, 小狄, 翠翠, 兰子}

 

足球、网球和排球集合,足球和排球交集
这是集 S 和集 V 的交集

S V = {小狄}

来看这个 ……

足球、网球和排球集合
这是集 S 和集 V 的交集集 T

(S V) T = {}

什么都没有!

就是 "空集"。还是个集,所以用大括号,但里面什么都没有:{}

空集没有元素:{}

全集

全集是什么元素都有的集。不是真的什么都有。是在我门目前有兴趣的东西里什么都有。

符号是大写英语字母 "U" …… 很容易和并集的符号 混淆。要小心!

在这个例子中,全集是全部十个朋友。

U = {阿力, 小白, 卡卡, 小狄, 艾伦, 成成, 兰子, 老韩, 大牛, 翠翠}

用维恩图来表达就是在外面的一个框:

足球、网球和排球集合

这个维恩图很清楚地显示了十个朋友及他们做(或不做)的球类运动。

我们可以从全集减去踢足球的人

足球、网球和排球集合

这样写:

U S = {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}

就是说:"全集减足球集是集 {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}"

换句话说: "所有踢足球的人"。

补集

"所有不是" 也有个特别名词,叫 "补集"(也称 "余集").

记法是上标大写英语字母 "C":

Sc

意思是"所有不在 S 里的":

足球、网球和排球集合

Sc = {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}
(和上面的 U − S 例子一摸一样)

 

总括