数学归纳法
数学归纳法是一个特别的证明方法。它只有两步：
- 一、证明首个为真
- 二、证明若任何一个为真，则下一个亦为真
故此，所有都为真
听过"多米诺骨牌效应"吗？
- 一、第一个多米诺骨牌倒下
- 二、当任何多米诺骨牌倒下，下一个骨牌亦会倒下
故此。。。。。。所有多米诺骨牌都会倒下！
这就是数学归纳法的精髓
在数字领域上，我们说：
- 一、说明当 n=1 时为真
- 二、说明若当 n=k 时为真，则当 n=k+1 时亦为真
怎样做
第一步通常是容易的，我们只需证明命题（我们要证明的东西）在 n=1 时成立
第二步最好这样做：
- 假设当n=k时命题成立
- 证明当n=k+1时命题成立（以当n=k时命题成立为事实。）
第二步有时候不好做。。。。。。因为时常要用到高明的诀窍！
例如：
例子：3n−1 是 2 的倍数
这是真的吗？我们来看看。
一、 证明当 n=1 时命题成立
31−1 = 3−1 = 2
对了，2 是 2 的倍数。易如反掌。
31−1 成立！
二、. 假设在 n=k 时也成立
3k−1 成立
（慢着！我们怎么知道这是真的？
对，我们不知道！
这是个假设。。。。。。接下来，在这例子里我们以此为
事实）
现在来证明 3k+1−1 是 2 的倍数
3k+1 也是 3×3k
把 3× 拆开为 2× 和 1×
每项都是 2 的倍数
因为：
- 2×3k 是 2 的倍数（乘以 2）
- 3k−1 也是 2 的倍数 （这是我们的假设）
所以：
命题：3k+1−1 是 2 的倍数――成立！
大功告成！
你看到我们怎样利用 "当3k−1 时命题成立"为假设？那是允许的，因为我们依赖多米诺骨牌效应。。。。。。
。。。。。。我们其实在问："若任何一个多米诺骨牌倒下，下一个会不会也倒下？
我们假设（暂时）"n=k"的骨牌倒下（当3k−1时命题成立），然后看看这能否导致 "n=k+1" 的骨牌也倒下。
窍门
上面我说通常我们需要用到高明的诀窍。
一个常用的诀窍是把 n=k+1 的例子分拆为2个部分：
- 一部分是 n=k （我们假设成立）
- 然后看看另一部分是否也成立
上面我们就是这样做了。再看一个例子：
例子：奇数相加
1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n2
一、证明当 n=1 时这是对的
1 = 12 是对的
2. 假设当 n=k时这也是对的
1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) = k2 是对的
（一个假设！）
现在来证明 "k+1" 是对的
1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) + (2(k+1)−1) = (k+1)2 ？
我们知道 1 + 3 + 5 + ... + (2k−1) = k2 （我们的假设），所以我们可以用 k2 来代替除了最后一项外所有的项：
k2 + (2(k+1)−1) = (k+1)2
展开所有的项：
k2 + 2k + 2 − 1 = k2 + 2k+1
简化：
k2 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1
它们相等！所以当 n=k+1 时，这也是对的。
故此：
1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)−1) = (k+1)2 成立
功德圆满！
讲完了！