极限 (正式定义)
趋近 ……
有时我们不能直接计算某个值 …… 可是我们可以 去看看逐渐接近它时的情形!
例子:
(x2 − 1) (x − 1)
求 x=1 的值:
(12 − 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0
0/0 不好做!没有人知道 0/0 是多少(它是"不确定的"),所以我们要另辟蹊径。
我们不直接求当 x=1 的值,我们趋近它来看看:
例子(续):
x | (x2 − 1) (x − 1) | |
0.5 | 1.50000 | |
0.9 | 1.90000 | |
0.99 | 1.99000 | |
0.999 | 1.99900 | |
0.9999 | 1.99990 | |
0.99999 | 1.99999 | |
…… | …… |
现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候, (x2−1) (x−1) 越来越接近 2
这很有趣:
- 当 x=1,我们不知道答案(它是 不确定的)
- 但我们也知道答案 越来越接近 2
我们想说:"2",但我们不能这样说,所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况:"极限"
当 x 趋近 1 时, (x2−1) (x−1) 的极限 是 2
用符号来写就是:
我们可以这样理解: "不管在那里是多少,当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"
在图上是这样的: 因此,实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。 但我们可以说:"趋近 1 时,极限是 2。" |
比较正式
我们不需要说:"极限好像趋近一个值",而用一个比较正式的定义。
先看一般的概念。
从语文到数学
先用语文来说:
"当 x 趋近某个值,f(x) 趋近某个极限"
当x趋近值"a"时,极限为"L",我们可以说:
"当 x 趋近 a",f(x) 趋近 L
计算 "近"
怎样用数学来形容 "近" 呢?…… 看看两个值的差?
例 1:4.01 − 4 = 0.01
例 2:3.8 − 4 = −0.2
嗯……负的接近?不对 …… 我们需要说的是:"不管正负,我只要知道多远",这就是 绝对值。
"多近" = |a−b|
例 1:|4.01−4| = 0.01
例 2:|3.8−4| = 0.2
|a−b| 越小,我们越近,所以我们这样写:
"当 |x−a| 小的时候,|f(x)−L| 也是小的"
这是用动画显示:
f(x) = (x2−1) (x−1)
当 x 趋近 a=1 时,f(x) 趋近 L=2,
所以当 |x−1| 是小的时候,|f(x)−2| 也是小的。
Delta 和 Epsilon
但 "小" 还是语文而不是"数学语言"。
我们选两个值来代表要"小于的值":
|x−a| 要小于的值 | ||
|f(x)−L| 要小于的值 |
(注意:这两个希腊字母 δ (英语叫 "delta") 和 ε (英语叫 "epsilon", )经常用来代表这两个意思的)
我们现在可以这样写:
"当 |x−a|<,|f(x)−L|<" |
就是这样!如果你明白这个你就明白极限了 ……
…… 但若要绝对精确,我们还要加上以下的条件:
1) | 2) | 3) | ||
对任何>0成立 | 存在,并>0 | x 不等于 a 的意思是 0<|x−a| |
全部放在一起:
"对于任何>0,有>0,从而使得当 0<|x−a|<时|f(x)−L|<" |
这就是正式的定义。很吓人,但也很酷!
但其中的精髓其实很简单:当 x 趋近 a 时,f(x) 趋近 L。
怎样在证明中应用这个定义
在证明中用这个定义,我们需要
从: | 到: | |
0<|x−a|< | |f(x)−L|< |
通常这会牵涉到求基于的合适公式。
怎样求这样的公式?
猜测和检验!
对了,我们:
- 不停尝试,直到找到我们认为可能管用的公式
- 检验公式,看看是不是真的管用。
例子:证明
用上面的字母:
- x 趋近的值 "a" 是 3
- 极限 "L" 是 10
所以我们需要知道:
怎样从: |
0<|x−3|< | 得到: | |(2x+4)−10|< |
一、尝试寻找可能管用的公式
开始: | |(2x+4)−10|< |
简化: | |2x−6|< |
把 2 移到外面: | 2|x−3|< |
把 2 移到另一边: | |x−3|</2 |
看上去=/2 可能管用
二、检验一下是不是真的管用。
我们可不可以从 0<|x−3|< 得到 |(2x+4)−10|< ……?
来 ……
开始: | 0<|x−3|< |
替代: | 0<|x−3|</2 |
把 2 移到中间: | 0<2|x−3|< |
把 2 移到里面: | 0<|2x−6|< |
以 "+4−10" 代替 "−6" | 0<|(2x+4)−10|< |
行了!用=/2,我们可以从 0<|x−3|< 得到 |(2x+4)−10|<
大功告成!
给予 ,我们可以求,使得以下为真:
"对于任何,有,使得当 0<|x−a|<时|f(x)−L|<"
我们证明了
结论
以上是一个相当简单的证明,但希望可以使你明白这个复杂的句子: "有 …… 使得 ……"。这个例子也简单示范了怎样去处理类似的证明。