极限 (正式定义)

请先阅读 极限入门

趋近 ……

有时我们不能直接计算某个值 …… 可是我们可以 去看看逐渐接近它时的情形!

例子:

(x2 − 1) (x − 1)

求 x=1 的值:

(12 − 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0

0/0 不好做!没有人知道 0/0 是多少(它是"不确定的"),所以我们要另辟蹊径。

我们不直接求当 x=1 的值,我们趋近它来看看:

例子(续):

x   (x2 − 1) (x − 1)
0.5   1.50000
0.9   1.90000
0.99   1.99000
0.999   1.99900
0.9999   1.99990
0.99999   1.99999
……   ……

现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候, (x2−1) (x−1) 越来越接近 2

这很有趣:

我们想说:"2",但我们不能这样说,所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况:"极限"

当 x 趋近 1 时, (x2−1) (x−1) 极限2

用符号来写就是:

当 x 趋近 1 时 (x^2-1)/(x-1) = 2 的极限

我们可以这样理解: "不管在那里是多少,当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"

在图上是这样的:

因此,实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。

但我们可以说:"趋近 1 时,极限是 2。"

  图缺口

比较正式

我们不需要说:"极限好像趋近一个值",而用一个比较正式的定义。

先看一般的概念。

从语文到数学

先用语文来说:

"当 x 趋近某个值,f(x) 趋近某个极限"

当x趋近值"a"时,极限为"L",我们可以说:

"当 x 趋近 a",f(x) 趋近 L

极限概念:当 x 趋近 a,f(x) 趋近 L

计算 "近"

怎样用数学来形容 "近" 呢?…… 看看两个值的差?

例 1:4.01 − 4 = 0.01 是
例 2:3.8 − 4 = −0.2 不

嗯……负的接近?不对 …… 我们需要说的是:"不管正负,我只要知道多远",这就是 绝对值

"多近" = |a−b|

例 1:|4.01−4| = 0.01 是
例 2:|3.8−4| = 0.2 是

|a−b| 越小,我们越近,所以我们这样写:

"当 |x−a| 小的时候,|f(x)−L| 也是小的"

这是用动画显示:

f(x) = (x2−1) (x−1)

当 x 趋近 a=1 时,f(x) 趋近 L=2,
所以当 |x−1| 是小的时候,|f(x)−2| 也是小的。

Delta 和 Epsilon

但 "小" 还是语文而不是"数学语言"。

我们选两个值来代表要"小于的值":

delta   |x−a| 要小于的值
epsilon   |f(x)−L| 要小于的值

(注意:这两个希腊字母 δ (英语叫 "delta") 和 ε (英语叫 "epsilon", )经常用来代表这两个意思的)

我们现在可以这样写:

"当 |x−a|<delta,|f(x)−L|<epsilon"

就是这样!如果你明白这个你就明白极限了 ……

…… 但若要绝对精确,我们还要加上以下的条件:

1)   2)   3)
对任何epsilon>0成立   delta存在,并>0   x 不等于 a 的意思是 0<|x−a|

全部放在一起:

"对于任何epsilon>0,有delta>0,从而使得当 0<|x−a|<delta时|f(x)−L|<epsilon"

这就是正式的定义。很吓人,但也很酷!

但其中的精髓其实很简单:当 x 趋近 a 时,f(x) 趋近 L

怎样在证明中应用这个定义

在证明中用这个定义,我们需要

从:   到:
0<|x−a|<delta 右箭头 |f(x)−L|<epsilon

通常这会牵涉到求delta基于epsilon的合适公式。

怎样求这样的公式?

猜测和检验!

对了,我们:

  1. 不停尝试,直到找到我们认为可能管用的公式
  2. 检验公式,看看是不是真的管用。

例子:证明

当 x 趋近 3 时 2x+4 的极限 = 10

用上面的字母:

所以我们需要知道:

怎样从:
0<|x−3|<delta 得到: |(2x+4)−10|<epsilon 问题

一、尝试寻找可能管用的公式


开始: |(2x+4)−10|<epsilon
简化: |2x−6|<epsilon
把 2 移到外面: 2|x−3|<epsilon
把 2 移到另一边: |x−3|<epsilon/2

看上去delta=epsilon/2 可能管用

二、检验一下是不是真的管用。


我们可不可以从 0<|x−3|<delta 得到 |(2x+4)−10|<epsilon ……?

来 ……

开始: 0<|x−3|<delta
替代delta 0<|x−3|<epsilon/2
把 2 移到中间: 0<2|x−3|<epsilon
把 2 移到里面: 0<|2x−6|<epsilon
以 "+4−10" 代替 "−6" 0<|(2x+4)−10|<epsilon

行了!用delta=epsilon/2,我们可以从 0<|x−3|<delta 得到 |(2x+4)−10|<epsilon

大功告成!

给予 epsilon,我们可以求delta,使得以下为真:

"对于任何epsilon,有delta,使得当 0<|x−a|<delta时|f(x)−L|<epsilon"

我们证明了

当 x 趋近 3 时 2x+4 的极限 = 10

结论

以上是一个相当简单的证明,但希望可以使你明白这个复杂的句子: "有 …… 使得 ……"。这个例子也简单示范了怎样去处理类似的证明。