心算
用脑袋来计算是相当困难的。如果你的记性不好,记不得计算的结果,或者记不得怎样去解一些计算题,你会觉得很困扰。在这里,我会给你一些提示与决窍。我自己的心算技穷其实都没有我其他数学技巧那么好,但因为我懂得利用一些要诀和技巧,我的心算也可以算得很快。
加法
一个把大量小的数相加的方法是把和是 10 的数放在一起。例如,你要算 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8,那么你就把式子重排为 (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45。
减法
减法的一个技巧是把减数(小的数)一步一步增加到等于被减数,而每一步的和都是容易相加的数,例如 10的次方。例子:求 213 减 67,我们从 67(减数)开始,然后顺序做 3 + 30 + 100 + 13 来得到 213。你在脑子里这样想:"三、三十三、一百三十三,最后加上 13 就是一百四十六"。
乘法做乘法时,重要的是把式子变成适当(就是容易用心算来处理)的项的和。例如,251 乘 323。一般的乘法是相当复杂的,因为要计算 251x3 + 251x20 + 251x300。不用纸笔或计算器来做这些真的不简单。但是,这不是唯一的算法,我们可以用一点技巧去得到容易计算的项。
舍入
我们先看看其中一个数是不是接近一个容易处理的数。在这个例子里,251 接近 250。所以我们这样做: 323x250 + 323。这比上面的做法容易多了。但 323x250 还是有点复杂。可是,乘以 250 是有捷径的:乘以 1000 然后除以 4。所以: 323x1000 = 323,000,而除以 4 就是除以 2 再除以 2:除以 2 是 161,500,再除以 2 是 80,750。开始时这样做除以 4(或其他小的数字)可能会有点别扭,但熟悉以后就很容易和很快。最后,80,750+323 = 81,073。看!这样做是不是容易很多并且快很多?当然,不是每一个乘法计算题都可以这样做,但你要养成寻找类似捷径的习惯。
在某些情况下,使用特定的规律往往是更好的方法。有很多这样的规则,我们在下面会介绍几个例子。
分解因数
如果其中一个(或两个)数可以分解成简单的因数,把因数相乘可能会更容易。例如,72 x 39 可以分解成 8 x 9 x 3 x 13。
之后我们可以把数重排和分拆成比较容易的计算。在这个例子里,我会这样做: 13 x 8 x 9 x 3。接下来就是逐项相乘。
- 13 x 8 = 10 x 8 + 3 x 8 = 80 + 24 = 104
- 104 x 9 = 936
- 936 x 3 = 2808
首个数位相同,第二个数位的和是 10
你要把两个二位数相乘(其实这个规则也可以引申到其他的情形上),而这两个数的第一个(左边的)数位是相同的,并且第二个数位加起来是 10。例如,87x83。你把第一个数位与【第一个数位加 1】相乘(8x9 = 72),然后在结果的右边接上第二个数位的积(7x3 = 21):72 接上 21 = 7221。这里有这个规则(及很多其他规则)背后的原理。
求个位是 5 的数的平方
这是上面的规则的一个特例。先把 5 拿走,把剩下的数乘以【自己加 1】,再在右边放 25(就是 5×5)。例如, 45x45。拿走 5 就剩下4。4 乘【4+1】是 4 乘 5 = 20。右边放 25 就是 2025。所以, 45x45=2025。更大的数也可以:205×205:20×21 = 420,所以答案是 42025。
稍大于 100
这是用来求两个稍大于 100 的数的积的技巧,但两个数减掉 100(拿走前面的 1)后剩下的数的积一定要少于 100。例如,103 x 124。3 x 24 = 72 < 100,所以可以用这个技巧。但是,117 x 112 就不行了:17 x 12 = 204 > 100。
如果通过以上的测试,答案便是:
- 1[拿走前面的 1后剩下的数的和][拿走前面的 1后剩下的数的积]
例子:
- 108 x 109 = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11,772
- 105 x 115 = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12,075
- 132 x 103 = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13,596
稍微改变,这技巧也可以引申到稍大于 200、300、400 等等的数的积:
- [第一个数位的积][【拿走第一个数位后剩下的数的和】 × 第一个数位][拿走第一个数位后剩下的数的积]
例子:
- 215 x 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43,860
如果数稍大于 1000、2000 等等,用这个规则:
- [第一个数位的积]0[(拿走第一个数位后剩下的数的和) × 第一个数位]0[拿走第一个数位后剩下的数的积]
例子:
- 2008 x 2009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4,034072
-
- 2008 x 2009 = 4,034,072
-
数每大一数量级(十倍),在中间加两个零。
除法
除法也有很多心算决窍,但作为一个开始,你可以先学习以下的技巧,并且你也可以去寻找其他的窍门。所有的数都是质数的积,所以你可以把被除数逐一除以除数的质因数来得到答案。例如, 100/24 = (((100/2)/2)/2)/3。虽然你会多做几个除法运算,但每个运算都很简单。100/2 = 50,50/2 = 25,25/2 = 12.5,12.5/3 = 45/30 = 41/6 = 4.166666666循环
另一个技巧是在做有乘法与除法在一起的式子时,先做除法,直至剩下的数是互质数时才开始做乘法。这样,中间结果的数就不会太大。例如,求 (18 * 115)/15。先把 115 除以 5 和 18 除以 3,然后把结果相乘:23 × 6 = 138。
乘以倒数
除法和乘以倒数是一样的。例如,除以 5 就是乘以 0.2(1/5=0.2)。乘以 0.2,把数加倍然后除以 10。
除以 7
1/7 是个特别的数,等于 。 留意这组六个数字重复循环:142857。把 1/7 乘以整数的结果很奇妙:
留意这六个分数写成小数就是相同的六个数字循环重复,以不同的数字开始,但数字间的次序是一样的。这有什么用?我们看这个分数:207/7。我们先把它分开成 200/7 + 7/7。7/7 等于一,所以答案等于 200/7 + 1。200/7 是 2/7 乘 100,而在上面我们知道 ,所以移动小数点后是
。最后我们加上 7/7(= 1)来得到答案:
。
除以 9
1/9 和它的倍数相当简单――就是小数点后加上分子的数字循环:
求 367/9:
首先,加 。然后加
.
估计
用心算做估计的最快方法是舍入到一个或两个有效数字(就是舍入到最高的一或二个数量级),然后再做运算。所以, 1241 × 15645 大约是等于 1200 * 16000 = 19200000,和正确的答案 19415445 相差不远。有时我们只需要舍入到最近的十的倍数,尤其是当答案不用太准确并且数值很大时。
其他心算
一个最有用的心算方法就是强记。记住数学事实,像平方数、立方数和 2 的次方、某些数的质因数、常见分数的小数(例如 1/7 = .1428……)等等。很多数学事实很简单,例如 1/3 = .3333…… 和 2^5 = 32,但牢记这些结果可以使得你很快地做某些运算,因为你根本不用(在)心(里计)算。例如,如果你知道 1024/32 是 2^10/2^5,你就可以很快地把指数相减来得到答案为 2^5 = 32。如果你时常做这些运算,你就会自动记住这些结果。所以,时常练习!
我暂时没空再写下更多的心算技巧了(希望其他网友也可以贡献一些你们的秘诀)。如果你了解上面的技巧,你也可以把相同的理念应用到其他的运算上。
这里我没有记录很多加法和减法的心算技巧,但相对来说,加法和减法的捷径比较少。
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