心算

用脑袋来计算是相当困难的。如果你的记性不好，记不得计算的结果，或者记不得怎样去解一些计算题，你会觉得很困扰。在这里，我会给你一些提示与决窍。我自己的心算技穷其实都没有我其他数学技巧那么好，但因为我懂得利用一些要诀和技巧，我的心算也可以算得很快。

加法

一个把大量小的数相加的方法是把和是 10 的数放在一起。例如，你要算 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8，那么你就把式子重排为 (3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45。

减法

减法的一个技巧是把减数（小的数）一步一步增加到等于被减数，而每一步的和都是容易相加的数，例如 10的次方。例子：求 213 减 67，我们从 67（减数）开始，然后顺序做 3 + 30 + 100 + 13 来得到 213。你在脑子里这样想："三、三十三、一百三十三，最后加上 13 就是一百四十六"。

乘法

做乘法时，重要的是把式子变成适当（就是容易用心算来处理）的项的和。例如，251 乘 323。一般的乘法是相当复杂的，因为要计算 251x3 + 251x20 + 251x300。不用纸笔或计算器来做这些真的不简单。但是，这不是唯一的算法，我们可以用一点技巧去得到容易计算的项。

舍入

我们先看看其中一个数是不是接近一个容易处理的数。在这个例子里，251 接近 250。所以我们这样做： 323x250 + 323。这比上面的做法容易多了。但 323x250 还是有点复杂。可是，乘以 250 是有捷径的：乘以 1000 然后除以 4。所以： 323x1000 = 323,000，而除以 4 就是除以 2 再除以 2：除以 2 是 161,500，再除以 2 是 80,750。开始时这样做除以 4（或其他小的数字）可能会有点别扭，但熟悉以后就很容易和很快。最后，80,750+323 = 81,073。看！这样做是不是容易很多并且快很多？当然，不是每一个乘法计算题都可以这样做，但你要养成寻找类似捷径的习惯。

在某些情况下，使用特定的规律往往是更好的方法。有很多这样的规则，我们在下面会介绍几个例子。

分解因数

如果其中一个（或两个）数可以分解成简单的因数，把因数相乘可能会更容易。例如，72 x 39 可以分解成 8 x 9 x 3 x 13。

之后我们可以把数重排和分拆成比较容易的计算。在这个例子里，我会这样做： 13 x 8 x 9 x 3。接下来就是逐项相乘。

13 x 8 = 10 x 8 + 3 x 8 = 80 + 24 = 104
104 x 9 = 936
936 x 3 = 2808

首个数位相同，第二个数位的和是 10

你要把两个二位数相乘（其实这个规则也可以引申到其他的情形上），而这两个数的第一个（左边的）数位是相同的，并且第二个数位加起来是 10。例如，87x83。你把第一个数位与【第一个数位加 1】相乘（8x9 = 72），然后在结果的右边接上第二个数位的积（7x3 = 21）：72 接上 21 = 7221。这里有这个规则（及很多其他规则）背后的原理。

求个位是 5 的数的平方

这是上面的规则的一个特例。先把 5 拿走，把剩下的数乘以【自己加 1】，再在右边放 25（就是 5×5）。例如， 45x45。拿走 5 就剩下4。4 乘【4+1】是 4 乘 5 = 20。右边放 25 就是 2025。所以， 45x45=2025。更大的数也可以：205×205：20×21 = 420，所以答案是 42025。

稍大于 100

这是用来求两个稍大于 100 的数的积的技巧，但两个数减掉 100（拿走前面的 1)后剩下的数的积一定要少于 100。例如，103 x 124。3 x 24 = 72 < 100，所以可以用这个技巧。但是，117 x 112 就不行了：17 x 12 = 204 > 100。

如果通过以上的测试，答案便是：

1[拿走前面的 1后剩下的数的和][拿走前面的 1后剩下的数的积]

例子：

108 x 109 = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11,772
105 x 115 = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12,075
132 x 103 = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13,596

稍微改变，这技巧也可以引申到稍大于 200、300、400 等等的数的积：

[第一个数位的积][【拿走第一个数位后剩下的数的和】 × 第一个数位][拿走第一个数位后剩下的数的积]

例子：

215 x 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43,860

如果数稍大于 1000、2000 等等，用这个规则：

[第一个数位的积]0[（拿走第一个数位后剩下的数的和） × 第一个数位]0[拿走第一个数位后剩下的数的积]

例子：

2008 x 2009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4,034072
- - 2008 x 2009 = 4,034,072

数每大一数量级（十倍），在中间加两个零。

除法

除法也有很多心算决窍，但作为一个开始，你可以先学习以下的技巧，并且你也可以去寻找其他的窍门。所有的数都是质数的积，所以你可以把被除数逐一除以除数的质因数来得到答案。例如， 100/24 = (((100/2)/2)/2)/3。虽然你会多做几个除法运算，但每个运算都很简单。100/2 = 50，50/2 = 25，25/2 = 12.5，12.5/3 = 4⁵/₃₀ = 4¹/₆ = 4.166666666循环

另一个技巧是在做有乘法与除法在一起的式子时，先做除法，直至剩下的数是互质数时才开始做乘法。这样，中间结果的数就不会太大。例如，求 (18 * 115)/15。先把 115 除以 5 和 18 除以 3，然后把结果相乘：23 × 6 = 138。

乘以倒数

除法和乘以倒数是一样的。例如，除以 5 就是乘以 0.2（1/5=0.2）。乘以 0.2，把数加倍然后除以 10。

除以 7

1/7 是个特别的数，等于 $0.\overline{142857}$ 。留意这组六个数字重复循环：142857。把 1/7 乘以整数的结果很奇妙：

$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$

$\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$

$\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}$

$\frac{4}{7} = 0.\overline{571428}$

$\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$

$\frac{6}{7} = 0.\overline{857142}$

留意这六个分数写成小数就是相同的六个数字循环重复，以不同的数字开始，但数字间的次序是一样的。这有什么用？我们看这个分数：207/7。我们先把它分开成 200/7 + 7/7。7/7 等于一，所以答案等于 200/7 + 1。200/7 是 2/7 乘 100，而在上面我们知道 $\frac{2}{7} = 0.\overline{285728}$ ，所以移动小数点后是 $\frac{200}{7} =28.\overline{571428}$ 。最后我们加上 7/7（= 1）来得到答案： $\frac{207}{7} =29.\overline{571428}$ 。

除以 9

1/9 和它的倍数相当简单――就是小数点后加上分子的数字循环：

$\frac{1}{9} = 0.\overline{11}$

$\frac{2}{9} = 0.\overline{22}$

$\frac{3}{9} = 0.\overline{33}$

$\frac{4}{9} = 0.\overline{44}$

$\frac{5}{9} = 0.\overline{55}$

$\frac{6}{9} = 0.\overline{66}$

$\frac{7}{9} = 0.\overline{77}$

$\frac{8}{9} = 0.\overline{88}$

求 367/9：

$\frac{367}{9} = \frac{300}{9} + \frac{60}{9} + \frac{7}{9}$

$\frac{367}{9} = 33.\overline{33} + 6.\overline{66} + 0.\overline{77}$

首先，加 $33.\overline{33} + 6.\overline{66} = 40.0$ 。然后加 $40.0 + 0.\overline{77} = 40.\overline{77}$ .

估计

用心算做估计的最快方法是舍入到一个或两个有效数字（就是舍入到最高的一或二个数量级），然后再做运算。所以， 1241 × 15645 大约是等于 1200 * 16000 = 19200000，和正确的答案 19415445 相差不远。有时我们只需要舍入到最近的十的倍数，尤其是当答案不用太准确并且数值很大时。

其他心算

一个最有用的心算方法就是强记。记住数学事实，像平方数、立方数和 2 的次方、某些数的质因数、常见分数的小数（例如 1/7 = .1428……）等等。很多数学事实很简单，例如 1/3 = .3333…… 和 2^5 = 32，但牢记这些结果可以使得你很快地做某些运算，因为你根本不用（在）心（里计）算。例如，如果你知道 1024/32 是 2^10/2^5，你就可以很快地把指数相减来得到答案为 2^5 = 32。如果你时常做这些运算，你就会自动记住这些结果。所以，时常练习！

我暂时没空再写下更多的心算技巧了（希望其他网友也可以贡献一些你们的秘诀）。如果你了解上面的技巧，你也可以把相同的理念应用到其他的运算上。

这里我没有记录很多加法和减法的心算技巧，但相对来说，加法和减法的捷径比较少。

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