集合入门

忘记了数字。

忘记了数字是什么。

以下讲的才是数学的源头。

不要管数字的数学,我们来看 "事物" 的数学。

定义

集合是什么?简单地说,集合是收集起来的一些东西。

我们先确定一堆 "东西"(下面会有定义)的一个共同属性,然后我们收集有这个共同属性的 "东西" 。

衣服集合

例如,穿在身上的东西:鞋子、袜子、帽子、衬衫、裤子等等。

你很容易就可以想到很多其他的集合。

这就是个集合

另一个例子是手指

这个集合含有食指、中指、无名指和小指。

  手指集

集合只不过是一推有共同属性的东西。

记法

集合的记法相当简单。把所有元素(也称 "成员")以逗号分隔,放在大括號里:

集合记法

大括号{ } 有时也叫做 "花括号"。

这是上面的两个例子:

{袜子,鞋子,手表、衬衫 …}
{食指,中指,无名指,小指}

第一个例子有这个符号 "…"(三个圆点)。

这三个圆点 叫水平省略号,意思是 "延续下去"。

所以第一个例子的意思是无穷延续 … 。

(你可能说其实没有无穷的东西可以穿在身上,但这也很难说 …… 在是个例子我们就当作真是无穷的。)

所以:

但有时 "…" 可以使用在一个长系列的成员中间:

例子:英语字母集合:

{a, b, c, …, x, y, z}

这个例子是个有限集合(只有 26个英语字母)

数集

这和数学有什么关系?为集合定义需要一个共同的属性,我们也可以这样定义数的集合.

偶数集:{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
奇数集:{..., -3, -1, 1, 3, ...}
质数集:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
小于 10 的 3 的正倍数:{3, 6, 9}

还有很多。

数集(其实所有的集都一样)也可以没有共同的属性,我们只需要把一些东西定义为一个集合。例如:

{2, 3, 6, 828, 3839, 8827}
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203}

这些都是我在键盘上随意打出来的数。

集合为什么重要?

集合是数学的基本概念。集合的概念没有什么特别,但应用在不同的(数学)情况下则成为强大的数学基础工具。

数学可以是很复杂的学问。图论、抽象代数、实分析、复分析、线性代数、数论等等都是复杂的理论,但它们其中一个共同基础就是集合

全集

星  

在上面我们说:"东西"。

这个集合叫全集。它是包含所有的集合。在实际的层面,全集含有所有与当前的研究课题有关的东西

各整数  

研究整数时,相关的集合都含有整数。全集就是所有整数

在数论研究,全集多半是所有整数,因为数论就是整数的研究。

各实数  

但在微积分(也称为实分析)里,全集差不多一定是实数

在复分析里,全集就是复数

更多记法

A= {a,...} 我们通常用大写英语字母来代表集合,小写子母来代表集合的元素。

例如,A 是个集合,a 是 A 的一个元素。B 与 b 和 C 与 c 也是一样。

当然,你不一定需要永远跟随这个惯例,你可以用 m 来代表集合,这并不违背数学定律(但是,除以 0 就是犯(数学)法的行为,你会被打进数学大牢里监禁π年)。不过,这个惯例也很清晰简单,所以跟随它也没什么大不了。

如果我们能说 aA 集的元素,我们就用 元素符号 符号来表示。
"不是集的元素"也有个符号:非元素符号

例子:集 A 是 {1,2,3}。我们可以这样写 1 元素符号 A,但 5 非元素符号 A

相等

如果两个集合所有的成员都是相同的,它们便是相等的。但是,有时两个相同的集合乍看是不相等的,所有我们需要小心观察!

例子:A 与 B 相等吗?

我们检测一下。两个集都含有 1。也有 2、3 和 4。没有其他元素了。所以:是,这两个集是相同的!

相等的符号是等号(=),所以:

A = B

子集

一个集合的一部分就是它的子集

例子:集 {1, 2, 3, 4, 5}

其中一个子集是 {1, 2, 3}。{3, 4} 或 {1} 也是子集。

但 {1, 6} 是子集,因为 6 不是原集的元素。

一般来说:

A 是 B 的子集当且仅当 A 的每个元素都是 B 的元素。

我们来看一些例子。

例子:A 是不是 B 的子集?A = {1, 3, 4},B = {1, 4, 3, 2}。

1 是 A 的元素,也是 B 的元素。

3 是 A 的元素,也是 B 的元素。

4 是 A 的元素,也是 B 的元素。

A 没有其他元素了,所有 A 的元素都是 B 的元素,所以

A 是 B 的子集

注意 2 是 B 的元素,但不是 A 的元素。但这没关系,我们只看 A 的元素。

现在我们来看一个比较复杂的例子。

例子:A 是 4 的所有倍数,B 是所有 2 的倍数。A 是 B 的子集吗?B 是 A 的子集吗?

我们不能检测所有的元素,因为两个集都是无限集。所以我们要做些分析。

集合是:

把两个集的元素配对,我们知道每个 A 的元素都是 B 的元素,但 B 的元素不一定是 A 的元素:

 

配对 A 和 B

因此:

A 是 B 的子集,但 B 不是 A 的子集

真子集

子集的定义导致一个有趣的结论。

A 是个集。每个 A 的元素都是 A 的元素吗?(很奇怪的问题,写错了吗?)

没写错,答案:当然是

所以 A 是 A 的子集

A 不像是自己的子集。通常我们要正的子集。所以我们建立另一个概念:真子集

A 是 B 的子集当且仅当每个 A 的元素也是 B 的元素,并且至少有一个 B 的元素不是 A 的元素。

在这个定义里,第二个条件排除了 A 为自己的真子集的可能。除此之外,真子和子集是没有分别的。

例子:

{1, 2, 3} 是 {1, 2, 3} 的子集,但不是 {1, 2, 3} 的 真子集

例子:

{1, 2, 3} 是 {1, 2, 3, 4} 的真子集,因为 4 不在第一个集里。

注意如果 A 是 B 的真子集,它也是 B 的子集。

更多更多记法

如果 A 是 B 的子集,我们这样写:A 子集符号 B。

如果 A 不是 B 的子集,我们这样写:A not subset symbol B ("A 不是 B 的子集")

如果 A 是 B 的真子集,我们拿走符号下面的横线:A 真子集符号 B,如果不是子集(也不是真子集):A not proper subset symbol B。

空集(也称零集)

很奇怪的概念!

吉他的钢琴键

想象这个集合:吉他的钢琴键。

"荒谬!""吉他没有钢琴键!"

全对!这个集没有元素

这个集合叫空集(或零集)。它没有任何元素。一个都都没有。零个。

符号是零集

或这个符号:{}(没有元素的集合)

另一个空集的例子是地球上南极以南的国家

空集有什么奇怪?继续看下去!

空集与子集

我们再来看子集的定义。有一个集 A。可以是任何集。空集是 A 的子集吗?

根据是子集的定义:若空集的每个元素都是 A 的元素,则空集是 A 的子集。但是,空集是没有元素的!

这个陈述是 "空虚"的真(也叫 "琐碎"的真)的。这是一个逻辑学的课题。

你可以这样想:我们找不到任何不在集 A 里的空集的元素,所以空集的所有元素都在 A 里。

因此空集 A 的子集。

空集是任何集的子集,包括空集自己。

在集合里,元素的次序是无关重要的。

例子:{1,2,3,4} 和 {3,1,4,2} 是同一个集合

集合的 "势" 就是集合的大小

有有限集和无限集,也有有穷势和无穷势。

有限集的势是元素的个数。

例子:{10, 20, 30, 40} 的势是 4。

无限集的势是无穷大。在集合论里,无穷大也有大小之分,但这是个比较高级的课题。

还有记法!

不,没有了。不再讲记法了。

作者:
Ricky Shadrach
 
活动:子集