二次导数

(如果你不知道 导数 是什么,你应该先去看看!)

 

基本上,导数是函数上任何一点的坡度。

"二次导数" 是函数的导数的导数。所以:

我们时常用撇号来代表导数:f'(x)
二次导数是以两个撇号来代表:f''(x)

例子:f(x) = x3

f''(x) = 6x

导数也可以用这样的标志:  dy  ,二次导数是这样的:  d2y
dx dx2

例子:(续)

上面的例子也可以写成:

y = x3

dy  = 3x2 
dx
d2y  = 6x
dx2

距离、速度和加速度

一个常见的实例是距离、速度和加速度:

例子:自行车赛!

在自行车赛里,你的车速是 每秒 10米

速度 10m 每 1s

距离:是你走了多远。通常我们用字母 s 来代表距离(源自拉丁语 "spatium")。

我们用这些字母:

 

速度: 是距离相对于时间 t 的改变 ……

…… 实际上就是距离相对于时间的一次导数:dsdt

你的速度是每秒 10m,所以dsdt = 10 m/s

 

加速度:你加速了!在两秒之内,你加速到 每秒 14m

加速从每秒 10m 到每秒 14m

当你加速时,你的速度随时间改变

所以 ds dt 随时间改变!

我们可以这样写: 
d ds dt
dt

但是,通常是这样写的:  d2s dt2

你的速度在 2 秒增加了 4 m/s,所以  d2s dt2 = 42  = 2 m/s2

 

你的速度 每秒 改变了 2米每秒
对了,"每秒" 用了两次!
用符号来写可以是 (m/s)/s,但通常写成 m/s2

 

(注意:在实际世界里,你的速度每一刻都在改变,但在这里我们假设你可以保持恒定的车速或加速度。)

所以:

    测量
例子
距离:: s 100 m
一次导数是速度: ds dt 10 m/s
二次导数是加速度: d2s dt2 2 m/s2

三次导数(加速度相对于时间的改变)叫 "变加速度、急动度或冲动度" …… !

来玩玩

在这里是一些常见函数的导数 f'(x) 和二次导数 f''(x):

注意函数的坡度是等于在画在其下面的导数。