同一个生日
这是个绝妙的谜题，你可以用它来学到很多关于概率的学问……
房间里有30个人……里面至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有 365日。
有些人可能这样想："有 30个人，365日，所以应该是 30/365 = 0.08……"
不对！
概率其实比这个高很多。实际上，房间里很可能会有两个人的生日是相同的
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因为你应该把每一个人与其他所有人比较。 有 30人，这就是435个比较。 但你也需要小心不把概率计算过高。 |
在下面我会告诉你怎样去计算……但首先我们来看一个简单的例子：
朋友和随机数
4个朋友（小李、蛮牛、小王 和 大山)，每人随机选一个在 1 和 5 之间的数。他们其中任何两个人选中相同数字的可能性是多少？
我们逐个来……
首先，小李和蛮牛选同一个数的可能性是多少？
蛮牛把他的数和小李的数比较。相同的可能性是5分之1。
树图是这样的：
注意："是" 和 "否" 加起来是 1
（1/5 + 4/5 = 5/5 = 1）
现在把小王也算进去……
有两个可能（叫 "条件概率"）：
- 如果小李和蛮牛的数是相同的，小王只有一个数来和他的数比较。
- 但如果小李和蛮牛的数不是相同的，小王便有两个数来比较。
结果是：
在最上面的一行（小李和蛮牛的数是相同的）已经有两个数相同（可能性是 1/5）。
但如果 "小李和蛮牛的数不是相同的"，小王的数便有 2/5的可能性和其中一个数相同（因为小王可以选小李或蛮牛的数）。
我们可以把概率相乘来求两个事件一同发生的概率：
沿着 "否，是" 的分支……"否"的可能性是 4/5，接着的"是"的可能性是 2/5 ：
沿着 "否，否" 的分支……"否"的可能性是 4/5，接着的"否"的可能性是 3/5：
注意所有的概率加起来还是 1（这是检差我们有没有算错的好方法）：
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
如果我们把大山也算进去呢？
一样的概念，不过要做更多计算：
做好了，"是" 的概率加起来是 101/125：
答案：101/125
但有个有趣的捷径……我们可以沿着 "否" 的分支做，便可以省却其他的计算，做起来也简单很多：
没有相同的数的可能性是：
(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125
所以有相同的数的可能性是：
1 - (24/125) = 101/125
（连树图也不需要！）
这是在解概率问题常用的技巧：
通常计算 "否" 的概率是比较容易的
（从 1 减去"否"的概率就是"是"的概率）
例子：在 6个人里有任何两个人的生日月份相同的概率是多少？
"没有相同生日月份"：
- 2个人：概率是 11/12
- 3个人：概率是 (11/12) × (10/12)
- 4个人：概率是 (11/12) × (10/12) × (9/12)
- 5个人：概率是 (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12)
- 6个人：概率是 (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12)
所以没有相同生日月份的概率是：
(11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12) = 0.22……
反过来就是有相同生日月份的概率：
1 - 0.22…… = 0.78……
所以有 78% 的可能性有两个人有相同生日月份
我们现在来解 "同一个生日" 的问题：
房间里有 30个人……里面至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有 365日。
这跟刚才的例子一样！不过多些人和多些数：
没有相同生日的概率：
364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 336/365 = 0.294……
（我用了电子表格来计算，但其实也可以用其他数学捷径）
有相同生日的概率是 1- 0.294……：
有相同生日的概率 = 1 - 0.294…… = 0.706……
就是 70.6% 的可能性，是很可能！
23个人的概率是大约 50%。
57个人的概率是 99%（差不多是必然的！）
下次你与很多人在房间里，你可以看看有没有人生日相同！
脚注：实际上，生日不是在一年里均匀分布的……比较多人在春天出生。医院也不想在周末太忙，所以在每周的头几天也会有多些分娩。闰年也会使得这问题复杂一点，但解问题的整体概念是相同的。