条件概率

怎样处理相关事件

我们在生活中时常都会遇到随机事件。你需要对这些事件有个"感觉"，才能成为一个聪明和成功的人。

独立事弹子玻璃球件

事件可以是 "独立" 的，意思是每个事件是不受其他事件影响的。

硬币正反面

例子：抛硬币。

每一次抛硬币都是绝对独立的。

过去的抛掷对这次抛掷是完全没有影响的。

每一个抛掷得到正面（或反面）的可能性永远是二分之一，或 50%。

每一个抛掷都是个独立事件。

树图

树图：是个显示类似情况的好方法。我们现在为这个弹子例子做个树图。

有 2/5 的可能性会拿到蓝弹子，3/5 的可能性会拿到红弹子：

弹子概率树图 1

我们来看看拿第二颗弹子时的情形：

弹子概率树图 2

若先拿的是蓝色，第二颗是蓝色的可能性是 1/4，第二颗是红色的可能性是 3/4。

若先拿的是红色，第二颗是蓝色的可能性是 2/4，第二颗是红色的可能性是 2/4。

现在我们可以尝试解答像这样的问题了："拿到 2颗蓝弹子的可能性是多少？"

答案：2/5 的可能性和之后 1/4 的可能性一起：

弹子概率树图 3

注意我们把可能性相乘，结果是 1/10。

拿到 2颗蓝弹子的可能性是 1/10

记法

数学用很多记法！我们可以用代数来处理这些概念，概率的记法是：

P(A) 的意思是 "事件 A 的概率"

在以上的例子，事件 A 是 "第一次拿蓝色"，概率是 2/5：

P(A) = 2/5

事件 B 是 "第二次拿蓝色" …… 有 2个可能：

如果第一次拿到的是蓝色，第二次拿蓝色的可能性是 1/4
如果第一次拿到的是红色，第二次拿蓝色的可能性是 2/4

所以我们要说明我们想要哪个可能，并用这个符号："|" 来表示 "在以下发生的条件下"：

P(B|A) 的意思是 "在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率"

换句话说，事件 A 已经发生了，现在事件 B 发生的可能性是多少？

P(B|A) 也叫在 A 发生的情况下 B 发生的 "条件概率"。

在这个例子里：

P(B|A) = 1/4

所以拿到 2个蓝弹子的概率是：

弹子概率树图 4

我们这样写

P( A 与 B ) = P(A) 乘以 P(B 条件 A)

"事件 A 与事件 B 的概率等于
事件 A 的概率乘以在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率"

我们再写一遍，这次全部用记法：

例子：在一副扑克牌里拿 2张国王

事件 A 是第一次拿一张国王，事件 B 是第二次拿一张国王。

第一张牌是国王的可能性是52分之4（52张牌里有4张国王）：

P(A) = 4/52

拿走第一张国王后，第二张是国王的可能性降低了（剩下的51张牌里只有3张是国王）：

P(B|A) = 3/51

所以：

P(A 与 B) = P(A) × P(B|A) = (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221

所以拿到2张国王的可能性是221分之1，或大约 0.5%

寻找隐藏数据

我们可以用代数来改变一个公式的"主語"，像这样：

开始：		P(A 与 B) = P(A) × P(B\|A)
换边：		P(A) × P(B\|A) = P(A 与 B)
除以 P(A)：		P(B\|A) = P(A 与 B) / P(A)

得到另一个有用的公式：

P(B 条件 A) = P( A 与 B ) / P(A)

"在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率等于
事件 A 与事件 B 的概率除以事件 A的概率

例子：冰淇淋

在你的社交群组里，70% 喜欢巧克力冰淇淋，35% 喜欢巧克力和草莓。

在喜欢巧克力的人里，也喜欢草莓的百分比是多少？

P(草莓|巧克力) = P(巧克力与草莓) / P(巧克力)

0.35 / 0.7 = 50%

在喜欢巧克力的人里，50% 也喜欢草莓

足球队

复杂例子：足球赛

你去踢足球，你想当守门员，但这和今天谁是教练有关：

如果是小山做教练，你当守门员的可能性是 0.5
如果是阿力做教练，你当守门员的可能性是 0.3

小山更经常做教练……大约每10场球赛有6场是他做教练（概率是 0.6）。

你今天当守门员的概率是多少？

我们来做个树图。首先，写下两个教练的名字：小山或阿力：

树图 1

小山做教练的概率是 0.6，所以阿力做教练的概率是 0.4 （加起来是 1）

如果小山做教练，你有 0.5 的可能性当守门员（0.5 的可能性不当守门员）：

树图 2

如果阿力做教练，你有 0.3 的可能性当守门员（0.7 的可能性不当守门员）：

树图 3

树图做好了，我们可以求概率了。公式是：

P(A 与 B) = P(A) x P(B|A)

这是 "小山，是" 的分支的计算：

树图 4

（小山做教练的 0.6 的概率乘以小山让你当守门员的 0.5 的概率等于 0.3 的概率。）

还没做完！还要算阿力做教练的情况：

树图 5

阿力有 0.4 的可能性做教练，让你当守门员的可能性是 0.3，相乘是 0.12

两个 "是" 的分支合到一起：

你有 0.3 + 0.12 = 0.42 的概率今天当守门员

（42% 的可能性）

检验

最后：完成计算后，看看加起来是不是等于 1：

树图 6

0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1

对了，加起来是 1，所以计算应该没错。

朋友和随机数

这是一个另类的条件概率的例子。

4个朋友（小李、蛮牛、小王和大山），每人从1到5之间随机选一个数。他们其中任何两个人选中相同数字的可能性是多少？

我们逐个来……

首先，小李和蛮牛选同一个数的可能性是多少？

蛮牛把他的数和小李的数比较。相同的可能性是5分之1。

树图是这样的：

现在把小王也算进去……

有两个可能：

如果小李和蛮牛的数是相同的，小王只有一个数来和他的数比较。
但如果小李和蛮牛的数不是相同的，小王便有两个数来比较。

结果是：

如果我们把大山也算进去呢？

一样的概念，不过要做更多计算：