柏拉图固体――为什么有五个?

最简单的原因:顶点的角

为什么只有五个柏拉图固体?最简单的原因是,在一个多面体里:

立方体 3面在顶点连接 至少有三面(或更多)在每个顶点连接。
立方体在顶点 3 乘 90度 在顶点的内角的和一定是小于 360度(如果等于 360°,顶点就变成平面了)。

我们也知道柏拉图固体所有的的面是相同的正多边形

正三角形

正三角形的内角是 60°,所以顶点可以有:

  • 3个三角形(3×60°=180°)
  • 4个三角形(4×60°=240°)
  • 或 5个三角形(5×60°=300°)
正四边形

正方形的内角是 90°,所以只可以有:

  • 3个正方形(3×90°=270°)
正五边形

正五边形的内角是 108°,所以只有:

  • 3个五角形(3×108°=324°)
正六边形

正六边形的内角是 120°,而 3×120°=360°。 这个不行,因为如果顶点上的角加起来是 360°,就会形成一个平面,不再是顶点了。

所以不能继续下去了。

因此,结果是:

在每个顶点有: 在顶点的角
(小于 360°)
固体  
3个三角形 180° 四面体 四面体
4个三角形 240° 八面体 八面体
5个三角形 300° 二十面体 二十面体
3个正方形 270° 立方体 六面体
3个五边形 324° 十二面体 十二面体

任何其他的组合在顶点都会有等于或大于 360°的角,这是不可能的。例子:4个正五边形(4×108° = 432°),3个正六边形(3×120° = 360°),等等都不可能)。

这是最简单的理由。

另一个理由(拓扑学)

简而言之:不可能有多于 5个柏拉图固体,因为任何其他组合都违背关于变、顶点与面的几何定理。

欧拉公式

听过欧拉定理吗?

欧拉定理说:在任何凸多面体(包括柏拉图固体在内)中,面个数顶点个数(角)减棱个数永远等于 2

点t这可以写成方程:F + V - E = 2

六面体

用立方体来试试:

立方体有 6个面、8个顶点、12条棱,

所以:

6 + 8 - 12 = 2


要深入了解欧拉公式,想象在立方体上加一条棱(例如在一个面上的对角线)。

多了一条棱和一个面:

7 + 8 - 13 = 2

六面体多一面
   

同样,如果加一个顶点(例如在一条棱的中点),
便会多了一条棱。

6 + 9 - 13 = 2。

"无论如何,答案还是 2"
(但也可能不是这样,你可以去欧拉公式看看)

六面体多一个顶点

 

面相接

想象一个柏拉图固体:它的面是什么形状?在每个顶点有有几个面相接在一起?

面可以是三角形(三条边)、正方形(四条边)等等。
右箭头 以 "s" 为每个面的边的个数。

在每个顶点有几个面?在立方体上,有 3个面在每个顶点相接。在八面体上,每个顶点有 4个。
右箭头 以 "m" 为在每个顶点相接的面的个数。

(这两个数值决定了多面体是什么图形)

把多面体展开!

现在我们把多面体的每一面剪出来。

剪出来以后,每个面是一个平面图形,边的个数是棱的双倍(因为我们把多面体的每条边一分为二)。

立方体展开 12条棱变成 24条边

例子:立方体剪开后是六个正方形。

每个正方形有 4条边,总共有 24条边(立方体有 12条棱).

所以展开后边个数是立方体的棱个数 "E"的一倍 = 2E

但这也是所有剪出来的图形的边的的总数,就是 s(每面的边个数) 乘以 F(面个数)

dot这可以写成方程:sF = 2E

 

同样,把多面体展开时,一个顶点被剪开成几个平面的角

以立方体为例,一个顶点被剪开成三个角,所以展开后角的个数是立方体顶点个数的三倍。

立方体展开顶点

展开后的平面图形是相同的多边形,而多边形的角个数和边个数是相等的(正方形有 4个角和 4条边、五边形有 5个角和 5条边等等。)

dot这可以写成方程:mV = 2E

把方程集合在一起

我们有所有需要的方程了,把它们写在一起,并重排:

sF = 2E,所以 F = 2E/s
mV = 2E,所以 V = 2E/m

代入 "F+V-E=2":

F + V - E = 2
2E/s + 2E/m - E = 2

再做一些重排……全部除以 "2E":

1/s + 1/m - 1/2 = 1/E

"E" 是棱的个数,不能小于零,所以 "1/E" 也不能小于零:

1/s + 1/m - 1/2 > 0

就是说:

点 1/s + 1/m > 1/2

我们现在只需要用不同的:

来试试!

有什么可能

可能的答案是:

s m 1/s+1/m > 0.5?
3 3 0.666…… 是
3 4 0.583…… 是
4 3 0.583…… 是s
4 4 0.5 否
5 3 0.533…… 是
3 5 0.533…… 是
5 4 0.45 否
4 5 0.45 否
5 5 0.4 否
等等…… …… …… 否

结果:只有 5答案个符合上面的不等式!其他全是不可能的。

例子:s=5m=5

1/s + 1/m - 1/2 = 1/E 就是

1/5 + 1/5 - 1/2 = 1/E
-0.1 = 1/E

E(棱的个数) = -10,不可能!


真的有这些多面体吗?

最后,我们要确定真的有这些多面体:

s m 意思 固体  
3 3 每个顶点有三个三角形 四面体 四面体
3 4 每个顶点有四个三角形 八面体 八面体
4 3 每个顶点有三个正方形 立方体 六面体
5 3 每个顶点有三个五边形 十二面体 十二面体
3 5 每个顶点有五个三角形 二十面体 二十面体

所以 5个都是真实的多面体。

大功告成。


Schläfli !(施莱夫利符号)

把 "s" 和 "m" 的值写在大括号 {} 之间便是多面体的施莱夫利符号(德语 "Schläfli " 符号):

例子:

你可不可以写出其他柏拉图固体的施莱夫利符号?