柏拉图固体――为什么有五个？

最简单的原因：顶点的角

为什么只有五个柏拉图固体？最简单的原因是，在一个多面体里：

	至少有三面（或更多）在每个顶点连接。
	在顶点的内角的和一定是小于 360度（如果等于 360°，顶点就变成平面了）。

我们也知道柏拉图固体所有的的面是相同的正多边形：

	正三角形的内角是 60°，所以顶点可以有： 3个三角形（3×60°=180°） 4个三角形（4×60°=240°） 或 5个三角形（5×60°=300°）
	正方形的内角是 90°，所以只可以有： 3个正方形（3×90°=270°）
	正五边形的内角是 108°，所以只有： 3个五角形（3×108°=324°）
	正六边形的内角是 120°，而 3×120°=360°。 这个不行，因为如果顶点上的角加起来是 360°，就会形成一个平面，不再是顶点了。 所以不能继续下去了。

因此，结果是：

这是最简单的理由。

另一个理由（拓扑学）

简而言之：不可能有多于 5个柏拉图固体，因为任何其他组合都违背关于变、顶点与面的几何定理。

欧拉公式

听过欧拉定理吗？

欧拉定理说：在任何凸多面体（包括柏拉图固体在内）中，面个数加顶点个数（角）减棱个数永远等于 2

这可以写成方程：F + V - E = 2

用立方体来试试： 立方体有 6个面、8个顶点、12条棱， 所以： 6 + 8 - 12 = 2

 

面相接

想象一个柏拉图固体：它的面是什么形状？在每个顶点有有几个面相接在一起？

把多面体展开！

现在我们把多面体的每一面剪出来。

剪出来以后，每个面是一个平面图形，边的个数是棱的双倍（因为我们把多面体的每条边一分为二）。

例子：立方体剪开后是六个正方形。

每个正方形有 4条边，总共有 24条边（立方体有 12条棱）.

所以展开后边个数是立方体的棱个数 "E"的一倍 = 2E

但这也是所有剪出来的图形的边的的总数，就是 s（每面的边个数） 乘以 F（面个数）。

这可以写成方程：sF = 2E

 

同样，把多面体展开时，一个顶点被剪开成几个平面的角。 以立方体为例，一个顶点被剪开成三个角，所以展开后角的个数是立方体顶点个数的三倍。

• 展开后，剪出来的平面的角的总数是：在原来的多面体上每一个顶点相接的面的个数（m）乘以多面体的顶点个数（V）= mV
• 展开后平面的边的总数是：原来的多面体的棱个数的两倍 = 2E

展开后的平面图形是相同的多边形，而多边形的角个数和边个数是相等的（正方形有 4个角和 4条边、五边形有 5个角和 5条边等等。）

这可以写成方程：mV = 2E

把方程集合在一起

我们有所有需要的方程了，把它们写在一起，并重排：

sF = 2E，所以 F = 2E/s
mV = 2E，所以 V = 2E/m

代入 "F+V-E=2":

F + V - E = 2
2E/s + 2E/m - E = 2

再做一些重排……全部除以 "2E"：

1/s + 1/m - 1/2 = 1/E

"E" 是棱的个数，不能小于零，所以 "1/E" 也不能小于零：

1/s + 1/m - 1/2 > 0

就是说：

1/s + 1/m > 1/2

我们现在只需要用不同的:

• "s" （每面的边个数，不能小于3），
• "m" （在每个顶点相接的面的个数，不能小于 3）

来试试！

有什么可能

可能的答案是：

结果：只有 5答案个符合上面的不等式！其他全是不可能的。

真的有这些多面体吗？

最后，我们要确定真的有这些多面体：

所以 5个都是真实的多面体。

大功告成。

Schläfli !（施莱夫利符号）

把 "s" 和 "m" 的值写在大括号 {} 之间便是多面体的施莱夫利符号（德语 "Schläfli " 符号）: