群入门

集合

在阅读这个页面之前，请先去阅读集合入门来了解以下：

• 衣服集合：{袜子, 鞋子, 裤子, ...}
• 偶数集合：{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
• 小于 10 的 3 的倍数：{3, 6, 9}

运算

集合里有元素后，我们就可以用集合来做一些事。更具体地说，我们把元素用一些方法拼合起来。用来合拼元素的工具就是运算。

运算以某种方式拼合集合的元素
为另一个元素。

更简单地说：

运算拼合集合的元素。

喜欢涂鸦？我用绘画做个例子。假设我们有这几种颜色：{红, 绿, 蓝}. 运算是什么？最简单的就是混色。例如，红混合绿就是黄，红混合蓝就是紫。
说："红混合蓝就是紫" 有点冗赘。数学家不喜欢冗赘的语文，所以他们用符号来这样简化：用 + 来代表 "混合" ，用 = 来代表"就是"。 "红混合蓝就是紫" 变成 "红 + 蓝 = 紫"。

二元运算

上面说的都相当笼统，但接下来我们会更具体。二元运算是一个运算，但只运用在2个元素上，不多不少，而得出来的结果是一个元素。即是，把两个元素拼合成一个。

你其实已熟悉好几个二元运算：

• 5 + 3 = 8
• 4 × 3 = 12
• 4 − 4 = 0

这些运算用不同方法去把两个数变成一个。注意最后的例子， 4 − 4 = 0。例子中还是用两个元素，虽然是相同的元素。

（也注意：我们没有用除法，因为除法的结果可以还有一个余数）

上面列出了 3个运算，但待会儿你会学习为什么其实只有两个运算！

良好定义

运算一定要是良好定义的。但反过来，它们也要定义良好.

"良好定义" 的意思就是意义清晰。

• "愤怒" 的意思是清晰的，所以这个词是"良好定义的"。
• 但是，如果我说："杜鹃"，那么我的意思是花还是鸟？

如果我给你两个数和一个良好定义的运算，你应该可以清晰地给我一个答案.

但有些运算不是良好定义的。

如果运算是良好定义的，答案就只有一个。

最后，我们时常会用 * 来代表运算，但我们的意思不一定是是乘法，我们的意思是 "某个运算"。如果意思是乘法，我们会明确说明。

群入门

了解集合与运算后，你已经具备群的基础了。简单地说：

裙是集合和运算的结合

例如，整数的集与加法。

但只有集合与运算还是太笼统了，我们需要知道更多集合与运算的属性。所以在群论里我们更具体地限制它们的属性，就是说，要集合与运算有更多属性。

群的正式定义

逐个来看：

一、群中有一个单位元。任何元素和单位元的运算结果是那个元素。 例如，整数 与 加法，单位元是 "0"，因为 5+0 = 5，0+5 = 5

换句话说，单位元与任何元素拼合并不改变那个元素。

每个群只有一个单位元

单位元的符号是 e，有时也用 0。你要把 0 当作一个符号，而不是数字。0 只不过是单位元的符号，就像 e 一样。这是定义。实际上，很多数学家喜欢用 0 作为单位元的符号而不用 e。

二、群的元素有有逆元。群的任何元素都有对应的另一个元素，这两个元素的运算结果是单位元 e。 例如，整数 与 加法，5 的逆元是 -5，（因为 5 + -5 = 0）

同样，负整数的逆元是正整数。-5 + 5 = 0，所以 -5 的逆元是 5。如果 a 是 b 的逆元，b 也是 a 的逆元.

逆元是独一无二的。除了 -5 之外，没有其他数可以满足 5 + x = 0。

注意一个群只有一个单位元，但群的每个元素各自有一个不同的逆元。

逆元的记法是 a^-1，所以在以上的例子里，a^-1 = b。对于整数与加法，5^-1 = -5.

 

三、结合性。在基本代数课里，你应该学习了结合性。意思是两个连续运算的次序对结果是没有影响的。 a * (b * c) = (a * b) * c

注意次序仍然是 a……b……c。不同的是括号。下面还有说明 ……

四、对运算是封闭的。想象你在一个封闭的箱子里。不论你做什么，你都不能离开箱子到外面去。同样，在群中任何两个元素的运算结果也不能在群以外，就是说，运算的结果必然在群之内

对群中任何两个元素 a 和 b，a*b 也必然在群中。这就是封闭的意思，因为群是 "封闭"的，不能离开了。

像上面的其它属性一样，对整数与加法来讲，这个属性是存在的：如果 x 和 y 是整数，而 x + y = z，z 也必然是个整数。

符合上面每一个条件的集合和 运算就形成一个群。

只有两个运算

	在页顶我列出了四个常见运算： + − × / 但其实只有两个。
	做减法时，我们说： "a 减 b"，因为这样说简单。但真正的意思是 "a 加 b 的加法逆元"。 减号的实际意思是加以加法逆元。但这样说有点冗赘，所以我们简单地说： "减".
你可以猜测除法是什么吗？同样道理，除法的意思是 "乘以乘法逆元"。
因此，只有两个运算：加和乘！

例子：

有点复杂，对不？下面的例子可以帮助你。

例一、加法与 {0}

这是个奇怪的例子，不过我们仍然可以做上面的四个步骤。先求单位元。把单位元加到任何元素的结果是那个元素。但是，唯一的元素是 0。所以我们尝试：0 + 0 = 0。对了。0 就是单位元。

接着我们求逆元。只有一个元素 0，它的逆元 0⁻¹ 是什么？因为只有一个元素，所以要看看 0 是不是自己的逆元。逆元的意思是 0 + 0⁻¹ = 0。因为 0 + 0 = 0，所以 0⁻¹ = 0。就是说，0 是自己的逆元，而这个逆元也是集的元素。没有其它元素，所以我们做好了。

结合？a + (b + c) = (b + c) + a？ 只有一个元素，所以 a = b = c = 0。0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0 吗？当然！

最后，集对加法是封闭的吗？对两个任意元素 a 和 b，a + b 也是集的元素吗？只有一个元素，所以 a = 0 和 b = 0。0 + 0 是集的元素吗？当然是。所以集对加法是封闭的。

因此， {0} 对加法构成一个群。

 

例二、乘法与 {-1, 1}

四步逐个做。有单位元吗？只有三个可能：

• -1 是单位元，
• 1 是单位元，
• 没有单位元。

1*-1 = -1，-1*1 = -1。并且，1*1 = 1，1*1 = 1。所以 1 是单位元。意料之内！

逆元。为集的元素 a，我们要求 a⁻¹ 来满足 a * a⁻¹ = 1（e，在上面我们求得单位元是 1）。先做 a = 1.

1 * 1 = 1，所以如果 a = 1，a⁻¹ = 1。-1 * -1 = 1。所以如果 a = -1，a⁻¹ = -1！我们求得所有元素的逆元了！并且，所有的逆元都是集的元素。

结合？a * (b * c) = (a * b) * c。只有两个元素，我们可以计算所有的可能。你可以自己去试试，但很明显，集对乘法是结合的。

最后，集对乘法是封闭的吗？1*1 在集里吗？在。1 * -1 呢？也在。-1 * -1？也在。最后，-1 * 1？当然在。所以集对乘法是封闭的。

大功告成！{-1, 1} 对乘法构成一个群。

 

例三、整数与加法

整数。整数的加法单位元是什么？我们需要求 a + e = e + a = a。很简单。0 是单位元，因为对任何整数 a + 0 = 0 + a = a。

一个整数 a 的加法逆元是什么？存在 a⁻¹ 满足 a + a⁻¹ = a⁻¹ + a = e 吗？例如，5 + 5⁻¹ = 0？5⁻¹ 是什么？-5！所以对任何整数 a，a + -a = e。（记住上面我们已经求得 e = 0）。

两个整数的和是不是整数？是。所以整数对加法是封闭的。

最后，a + (b + c) = (a + b) + c？对！因此，我们成功显示了整数对加法构成一个群。

 

例四、整数与乘法

四部曲。第一，求单位元。求 e 满足 a * e = e * a = a。试试 a = 5。5 * e = 5。e 是什么？很简单，1。

第二，我们需要求乘法逆元。我们可以为任意整数 a 求得 a⁻¹ 来满足 a * a⁻¹ = e 吗？再用 5 试试。5 * 5⁻¹ = 1。所以 5⁻¹ 是什么？1/5！
但是， 1/5 不是整数！糟了！整数的集不包含乘法逆元，所以整数对乘法不构成一个群。

我们显示了整数对一个运算构成一个群，但对另一个运算则不构成一个群。

为什么要用群？

我们为什么要对群有兴趣？这是一个不容易回答的问题，因为群多半是应用在非常高级的研究中的。

例如，群论的其中一个应用是信用卡号码扫描认证。
太空探测仪也用群论来修补错误阅读的数据。数学家甚至用群论来确实多项式的可解性。

这是个好理由：

解方程

群的特性对解方程非常有用。

对于方程 a*x = b，其中 a 和 b 为群 G 的元素，群的属性告诉我们方程有一个解，而这个解也是 G 的元素。

a * x = b

a-1 * a * x = a-1 * b

(a-1 * a) * x = a-1 * b

(e) * x = a-1 * b

x = a-1 * b

因为 a^-1 和 b 都是 G 的元素，a^-1 * b 也必然是 G 的元素。

并且，因为运算 * 必然是良好定义的，所以这是个唯一的解，不然运算就不是良好定义的了。

群的特别种类：阿贝尔群

如果 a * e = a，这不就代表 e * a = a吗？

同样，如果 a * b = e，这不就代表 b * a = e 吗?

没错，因为群的定义是这样的。但我们要小心，因为一般来说
a * b = b * a 不是必然的。但是，如果对群中任意 a 和 b，a * b = b * a，这个群就称为阿贝尔群（也称交换群或加群）

整数符合这个条件，所以整数对加法构成一个阿贝尔群。

由 Ricky Shadrach 提供