矩阵乘法

矩阵是数的排列

矩阵
矩阵
（这矩阵有2行和3列）

把矩阵与一个数相乘是容易的：

矩阵乘以常数

计算是这样的：
2×4=8 2×0=0
2×1=2 2×-9=-18

我们叫这个数 （"2"）为标量，所以这乘法被称为"标量乘法".

矩阵与矩阵相乘

但若要把矩阵与矩阵相乘，我们要计算行与列的"点积"……这是什么意思？我们来看个例子：

求 第一行 和 第一列 的答案：

矩阵乘法点积

"点积" 是把 对称的元素相乘，然后把结果加起来：

(1, 2, 3) • (7, 9, 11) = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

我们把第一个元素相配（1 和 7），然后相乘。第二个元素（2 和 9） 和第三个元素（3 和 11）也一样，然后把结果加起来。

想多看一个例子？这是第一行与第二列：

矩阵乘法下一项

(1, 2, 3) • (8, 10, 12) = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 64

第二行 和 第一列也同样做：

(4, 5, 6) • (7, 9, 11) = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 139

第二行 和 第二列：

(4, 5, 6) • (8, 10, 12) = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 154

我们得到：

矩阵乘法完成

做好了！

为什么要这样做？

乍看像个过于复杂的乘法，但这是有道理的！

看看一个实例：

例子：饼店卖三种派。

这是过去4天里饼店卖的数目：

矩阵乘法表

现在来想想……星期一的销售额是这样算出来的：

牛肉派的销售额 + 鸡肉派的销售额 + 素菜派的销售额
$3×13 + $4×8 + $2×6 = $83

总销售额是价钱与销售量的点积：

($3, $4, $2) • (13, 8, 6) = ￥3×13 + ￥4×8 + ￥2×6 = ￥83

我们把价钱和销售量相配，把它们逐个相乘，然后把结果 加起来。

 

换句话说：

所以重点是要把价钱和销售量正确地相配。

 

明白为什么要用"点积"了吗？

 

用矩阵写出来是这样：

矩阵乘法

星期一卖了￥83的派，星期二￥63，……

（你可以把这些值打进矩阵计算器来看看。）

行与列

要表达一个矩阵有几行和几列，我们通常写 行×列。

例子：这是个 2×3 矩阵（2行和3列）：

矩阵

把两个矩阵相乘时：

例子：

矩阵乘法

在这例子里，我们把 1×3 矩阵乘以 3×4 矩阵（留意两个矩阵都有 3），相乘的结果是个 1×4 矩阵。

一般来说：

把m×n矩阵与n×p矩阵相乘，n 必须相同，
相乘结果是m×p矩阵。

矩阵乘法行列

乘法的次序

在算术里我们知道：

3 × 5 = 5 × 3
（乘法的互换律）

但在矩阵的领域这通常是不正常的（矩阵乘法并非可互换）：

AB ≠ BA

当乘法的次序改变，答案亦（通常）改变。

例子：

来看看次序怎样影响这矩阵相乘：

矩阵乘法次序

单位矩阵

"单位矩阵" 是矩阵领域里的 "1":

单位矩阵
3x3 单位矩阵

它是个特别的矩阵，因为把它和一个矩阵相乘，后者不变：

A × I = A

I × A = A

 

 
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