数列

常见的数规律 的网页里有数列的简单介绍.

什么是数列?

序列是一组顺序排列的东西,若这些东西是数,我们便称之为数列。

数列

无穷或有穷

无穷延续的数列叫 无穷数列
否则叫 有穷数列

例子:

{1,2,3,4……} 是一个很简单的数列(也是个无穷数列)

{20,25,30,35……} 也是个无穷数列

{1,3,5,7} 是头四个奇数的数列(是个有穷数列)

{4,3,2,1} 是 4 倒数到 1

{1,2,4,8,16,32……} 是无穷数列,每一项是上一项的双倍

{a,b,c,d,e} 是头五个英语字母的序列,按先后次序排列

{f,r,e,d} 是 "fred" 这个英语名字里的字母的序列

{0,1,0,1,0,1……} 是 0 和 1 的 交错 数列(交错的次序)

顺序

数列的项是"顺序"的,但这次序可以是顺任何次序:向前,向后,交错……任何次序都可以!

像集合

数列和集合相似,除了:

例子:{0,1,0,1,0,1……} 是交错排列的 0 和 1 的 数列

项的集合 是 {0、1}

记法

数列与集合用同样的记法
列出每个项,用逗号隔开,
全部放在大括号里。
{3,5,7……}

大括号 { } 也叫 "集合括号" 或 "花括号"。

一个规则

数列通常有一个 规则,就是计算每一项的值的方法。

例子:数列 {3, 5, 7, 9……} 从 3 开始,每项加 2:

{3,5,7,9……}

公式

用 "从 3 开始,每项加 2" 来计算以下的项并不合适:

所以我们需要一个公式,公式里含有 "n" (n 可以是任何项的序数)。

那么, {3,5,7,9……} 的规则是什么?

数列每项以 2 增大,所以我们可以推测规则是像 "2 乘 n" ("n" 项的序数)。我们来检验:

检验规则:2n

n 检测规则
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6

差不多了,但……每项都 了 1。我们把它改成:

检测规则:2n+1

n 检测规则
1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

行了!

所以我们不用冗长的说:"从 3 开始,每项加 2",我们这样写:

2n+1

我们现在可以来计算第 100 项了:

2 × 100 + 1 = 201

很多规则

可是,我们可以找到多个规则来配合任何数列。

例子:数列 {3,5,7,9……}

上面我们找到 {3,5,7,9……} 的一个规则:2n+1

用这个规则,数列是 {3,5,7,9,11,13……}

有其他的规则吗?

这个:"没有 1 在里面的奇数"

数列变成: {3,5,7,9,23,25……}

完全不同的数列!

我们还可以找到很多不同的规则来配合 {3, 5, 7, 9, ...}。对不对?

所以最好说:"数列的一个规则是",而不要说:"数列的规则是" (除非我们知道那规则是唯一的正确规则)。

记法

为简单起见,我们通常用这个格式:

数列项
  • 项:xn
  • 项的序数:n

例子:我们这样来写 "第 5 项":x5

所以{3,5,7,9……}的一个规则可以写成:

xn = 2n+1

计算第 10 项便是这样写:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

这样试着计算 x50 (第 50 项)。

又一个例子:

例子:求这数列的头 4 项:

{an} = { (-1/n)n }

算法:

答案:

{an} = { -1,1/4,-1/27,1/256……}

特别数列

我们现在来看看一些特别的数列和它们的规则。

等差数列

等差数列里, 每一项和下一项的差是个常数

换句话说,每次加个等值,直到永远,……

例子:

1,4,7,10,13,16,19,22,25……

每项和下一项的差是 3。
规则是 xn = 3n-2

等差数列的一般写法是:

{a,a+d,a+2d,a+3d……}

其中:

规则是:

xn = a + d(n-1)

(用 "n-1",因为在第一项里没有 d)。

等比数列

等比数列 的项是上一项乘以一个常数

例子:

2,4,8,16,32,64,128,256……

 

项与项之间的比是 2。
规则是 xn = 2n

等比数列的一般写法是:

{a,ar,ar2,ar3…… }

其中:

注意:r 不能是 0。

规则是:

xn = ar(n-1)

(用 "n-1",因为第一项是 ar0

三角数

1,3,6,10,15,21,28,36,45……

三角数列 是基于排列为三角形的点图案。

在三角形的底多加一行后,点的个数便是数列的下一项:

三角数

但这个规则比较简单:

xn = n(n+1)/2

例子:

平方数

1,4,9,16,25,36,49,64,81……

每项的值是项的序数的平方。

规则是 xn = n2

 

立方数

1,8,27,64,125,216,343,512,729……

每项的值是项的序数的立方。

规则是 xn = n3

 

斐波那契数列

这是 斐波那契数列

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34……

每项是前两项的和:

规则是 xn = xn-1 + xn-2

这个规则有意思,因为它是基于前两项的值。

这种规则叫 递归公式。

斐波那契数列

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ……
xn = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ……

 

例子:第"6"项是这样计算的:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

级数与部分和

熟悉数列后,接下来便是去了解怎样把数列加起来。浏览这里来了解部分和

把一个数列的一部分相加 便是 部分和

无穷的数列的 是叫 "级数" (听上去好像是数列的另一个名字,但其实它是个和)。去看 无穷级数

例子:奇数

数列:{1、3、5、7……}

级数1 + 3 + 5 + 7 + ……

头 3项的部分和:1 + 3 + 5