换元积分法

"换元积分法" 是求积分的方法,适用于可以写成一个特定格式的函数。

第一步,也是最重要的一步,是把积分写成这个格式:

一般换元积分法
注意积分里有 g(x) 和它的 导数 g'(x)

像这例子:

换元积分法 cos(x^2) 2x dx
在这例子里,f=cosg=x2,还有其导数 2x
格式对了,可以用换元积分法来求这个积分了!

若积分写成了这个格式,我们可以做这个变换(换元)

一般换元积分法

接着我们可以求 f(u) 的积分,然后把 g(x) 代回去 u 里

像这样:

例子:cos(x2) 2x dx

这已经是可以换元的格式:

换元积分法 cos(x^2) 2x dx

求积分:

cos(u) du = sin(u) + C

u=x2 代回去:

sin(x2) + C

所以cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C。 不错!(当然不错,不然我不会举这个例了!)

换元积分法只适用于某些积分,并且可能需要先重排式子:

例子:cos(x2) 6x dx

糟了!是 6x,不是 2x。格式不对了!

没关系。重排积分就行了:

cos(x2) 6x dx = 3cos(x2) 2x dx

(常数乘数可以移到外面。见 积分法则。)

可以照样做了:

3cos(u) du = 3 sin(u) + C

u=x2 代回去:

3 sin(x2) + C

做好了!

我们来看一个比较复杂的例子::

例子:x/(x2+1) dx

好…… x2+1 的导数是 2x …… 所以我们可以这样重排:

x/(x2+1) dx = ½2x/(x2+1) dx

得到:

换元积分法 2x/(x^2+1)

求积分:

½1/u du = ½ ln(u) + C

u=x2+1 代回去:

½ ln(x2+1) + C

来看看这个:

例子:(x+1)3 dx

…… x+1 的导数是 …… 1!

所以:

(x+1)3 dx = (x+1)3 · 1 dx

得到:

换元积分法 (x+1)^3

求积分:

u3 du = (u4)/4 + C

u=x+1 代回去:

(x+1)4 /4 + C

就是这样!

总结

若积分可以写成这个格式:

一般换元积分法

我们便可以做这个变换:u=g(x),然后求积分f(u) du
最后把 g(x) 代回 u 里。