贝叶斯定理

贝叶斯很奇妙！

你可曾想过电脑是怎样学习人类行为的？

贝叶斯定理是在已经知道其他概率的情况下去求概率的方法。

公式是：

P(A|B) =	P(A) P(B|A)
	P(B)

它告诉我们在 B 发生的条件下，A 发生的概率（写为 P(A|B)），若我们已知道在 A 发生的条件下，B 发生的概率（写为 P(B|A)） 和 A 和 B 独自发生的概率。

• P(A|B) 是在 B 发生的情况下 A 发生的概率
• P(A) 是 A 发生的概率
• P(B|A) 是在 A 发生的情况下 B 发生的概率
• P(B) 是 B 发生的概率

若 P(火) 代表有火的可能性，P(烟) 代表有烟的可能性，则：

P(火|烟) 的意思是当有烟时，有火的可能性。
P(烟|火) 的意思是当有火时，有烟的可能性。

所以公式好像是告诉我们 可能"将要" 发生的，若我们已知道 "过去" 已经发生的（反之亦然）

怎样去记

想 "AB AB AB"，然后这样分组："AB = A BA / B"

P(A|B) =	P(A) P(B|A)
	P(B)

"A" 有两个可能

贝叶斯定理的其中一个著名用途是 假阳性和假阴性。

在这个情况，"A" 有两个可能，例如 及格/不及格 （或 是/否 等等）

过敏

我们想知道当检测结果是 "有" 的时候，有这种过敏的可能性，我们吧我这个概率写为 P(过敏|有)

公式是：

P(过敏|有) =	P(过敏) P(有|过敏)
	P(有)

• P(过敏) 是有这种过敏的概率 = 1%
• P(有|过敏) 是对于真的有这种过敏的人，检测的结果是 "有" = 80%
• P(有) 是对于任何人，检测的结果是 "有" = ??%

糟了！我们不知道检测结果是 "有" 的一般 可能性是多少……

…… 但我们可以把有这种过敏和没有这种过敏的概率相加来求这个一般概率：

• 1% 的人有这种过敏，检测对 80% 的这些人说 "有"
• 99% 的人没有这种过敏，检测对 10% 的这些人说 "有"

把概率加起来：

P(有) = 1% × 80% + 99% × 10% = 10.7%

就是说大约 10.7% 的人会得到 "有" 的检测结果。

我们可以用公式了：

P(过敏|有) =	1% × 80%	= 7.48%
	10.7%

P(过敏|有) = 大约 7%

这和我们在 假阳性和假阴性 网页里计算的答案是一样的。

我们甚至有一个专为这个情形而设的贝叶斯定理特别版本：

P(A|B) =	P(A)P(B|A)
	P(A)P(B|A) + P(非A)P(B|非A)

"A" 有三个（或以上）可能

在上面的例子里， "A" 有两个可能性（A 和 非A），都放到公式里的分数下面

如果 "A" 有 3个或以上可能，我们把它们全部都放到分数的下面：

P(A1|B) =	P(A1)P(B|A1)
	P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3) + …… 等等