复利：定期复利
你也许想先看关于复利的内容。
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复利简介
复利的计算是先计算第一期的利息，把利息加到本金上，然后用新的本金计算下一期的利息，就这样重复下去：
加 10% 利息是等于乘以 1.10
（去这里了解更多）
运算是这样的：
公式
这是复利的公式（如上，不过改用字母表达）：
例子：投资 ￥1,000，5年，年利率 10%：
现值 PV = ￥1,000
利率是 10%，用小数表示是 r = 0.10
期数 n = 5
我们可以用这个公式做不同的计算，例如利率为 6%：
例子：投资 ￥1,000，5年，年利率6%：
现值 PV = ￥1,000
利率是 6%，小数是 r = 0.06
期数 n = 5
（一年内）
有时候利率是年利率……
……但一年里计算多次利息，每次的利息都加到本金上……
……所以一年内也有复利计算.
例子："10%，半年复利"
半年复利就是一年算两次复利。所以 10% 要分开两半：
- 上半年 5%，
- 下半年 5% ，
但每次都是复利（利息加到本金上）：
 |
| 10%，半年复利 |
一年后的金额是 ￥1,102.等于 10.25%，而不是 10%
两个年利率？
对了，有两个年利率：
| 例子 | ||
| 10% | 名义利率（声明的利率） | |
| 10.25% | 有效年利率（计算复利后的利率） | |
| 有效年利率是实际的利率！ | ||
当复利在一年内计算时，有效年利率便高于名义利率。
高多少跟利率的大小和一年内计算复利的次数有关。
算法
我们现在来导出一个有效年利率的公式，如果我们知道：
- 声明的利率（名义利率 "r"）
- 计算复利的次数（"n"）。
我们把利率（例如 10%）分开为 "n" 期来计算复利。
用上面的复利公式我们可以计算 "n" 期的复利：
FV = PV (1+r)n
但是，利率不是 "r"，因为要把年利率分开成 "n" 期，像这样：
r / n
复利公式变成：
这是定期复利的公式：
FV = PV (1+(r/n))n
其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率
n = 期数
用上面 "10%，半年复利" 的例子来试试：
FV = ￥1,000 (1+(0.10/2))2 = ￥1,000(1.05)2 = ￥1,000 × 1.1025 = ￥1,102.50
这个管用！但我们也需要知道新的利率。我们不想用货币来表达，所以拿走货币符号：
(1+(r/n))n = (1.05)2 = 1.1025
减掉 1 就是利率（0.1025 = 10.25%）：
(1+(r/n))n − 1 = 0.1025 = 10.25%
因此，公式是：
有效年利率 = (1+(r/n))n − 1
例子：广告上写的是： "月复利 6%"，实际有效年利率是多少？
r = 0.06（6% 的小数）
n = 12
有效年利率 = (1+(r/n))n − 1
= (1+(0.06/12))12 − 1
= (1.005)12 − 1 = 0.06168 = 6.168%
实际利率是 6.168%
例子：7% 年利率，一年计算 4次复利。
r = 0.07（7% 的小数）
n = 4
所以：
FV = PV (1+(0.07/4))4
FV = PV (1+(0.07/4))4
FV = PV (1.0719……)
有效年利率是 7.19%
你需要记住：
| 把年利率分开为 "n"期 | r / n |
|---|---|
| 计算 "n" 次复利： | (1+(r/n))n |
| 不要忘了减掉 "1" | (1+(r/n))n − 1 |
数值表
这是一些数值例子。留意当利率小时，复利没有多大影响，但当利率大时，复利的效果就很大。
| 复利 | 计算期 | 1.00% | 5.00% | 10.00% | 20.00% | 100.00% | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 年 | 1 | 1.00% | 5.00% | 10.00% | 20.00% | 100.00% | |
| 半年 | 2 | 1.00% | 5.06% | 10.25% | 21.00% | 125.00% | |
| 季 | 4 | 1.00% | 5.09% | 10.38% | 21.55% | 144.14% | |
| 月 | 12 | 1.00% | 5.12% | 10.47% | 21.94% | 161.30% | |
| 日 | 365 | 1.01% | 5.13% | 10.52% | 22.13% | 171.46% | |
| ... | …… | ||||||
| 连续 | 无穷 | 1.01% | 5.13% | 10.52% | 22.14% | 171.83% |
连续？
对！当复利计算期越来越小（时、分等），最后就会趋近一个极限。我们甚至可以算出一个连续复利的公式：
连续复利公式
注意： e=2.71828……是欧拉数。
例子：
连续复利，年利率 20%： e0.20 − 1 = 1.2214…… − 1 = 0.2214……
应用
知道怎样计算有效年利率的公式（定期或连续）后，我们便可以做任何正常的复利计算了。
例子：￥10,000，连续复利 2年，8%
连续复利 8%是：e0.08 − 1 = 1.08329…… − 1 = 0.08329……
就是 8.329%
我们要做 2年的计算（见复利）：
FV = PV × (1+r)n
FV = ￥10,000 × (1+0.08329)2
FV = ￥10,000 × 1.173511... = ￥11,735.11
结论
| 有效年利率 = (1+(r/n))n − 1 |
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其中：
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