复利
你可能想先阅读利息简介
复利的计算是先计算第一期的利息，把利息加到本金上，然后用新的本金计算下一期的利息，就这样重复下去：
金额增加得越来越快，像这样：
这是 5年 10% 的计算结果：
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年 |
初始借贷额 |
利息 |
终极借贷额 |
|---|---|---|---|
|
0 （现在） |
￥1,000.00 |
（￥1,000.00 × 10% = ） ￥100.00 |
￥1,100.00 |
|
1 |
￥1,100.00 |
（￥1,100.00 × 10% = ）) ￥110.00 |
￥1,210.00 |
|
2 |
￥1,210.00 |
（￥1,210.00 × 10% = ） ￥121.00 |
￥1,331.00 |
|
3 |
￥1,331.00 |
（￥1,331.00 × 10% = ） ￥133.10 |
￥1,464.10 |
|
4 |
￥1,464.10 |
（￥$1,464.10 × 10% = ） ￥146.41 |
￥1,610.51 |
|
5 |
￥1,610.51 |
我们可以逐步来做：
- 计算利息（= "初始借贷额" × 利率）
- 把利息加到 "初始借贷额" 上来得到年底的 "终极借贷额"
- 年底的 "终极借贷额" 是下一年的 "初始借贷额"
简单，但需要很多计算。
但是，用巧妙的数学就可以找到捷径。
做个公式
我们可以为以上的算法做个公式……先看第一年：
41,000.00 + （￥1,000.00 × 10%）= ￥1,100.00
可以重排为：
加 10% 就是乘以 1.10
| 所以这个： | ￥1,000 +（￥$1,000 x 10%）= ￥1,000 + ￥100 = ￥1,100 | |
| 和这个是相同的： | ￥1,000 × 1.10 = ￥1,100 |
注意：把利率除以 100 来转换为小数：
10% = 10/100 = 0.10
去这里学习百分比。实际运算时只要把小数点向左移两位，像这样：
- 10% ⇒ 1.0 ⇒ 0.10
- 12% ⇒ 1.2 ⇒ 0.12
- 6% ⇒ 0.6 ⇒ 0.06
这样我们可以一步就做好一年的计算：
- 把 "初始借贷额" 乘以 （1 + 利率）来得到 "终极借贷额"
好了，窍门是……
……公式在任何年份都适用！
- 我们可以这样求下一年的利息：￥1,100 × 1.10 = ￥1,210
- 再下一年：￥1,210 × 1.10 = ￥1,331
- 等等……
像这样：
这样乘 5次，我们就可以直接计算第五年的金额：
￥1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = ￥1,610.51
用指数（幂）来写比较简单：
一步就完成了上面列表里的计算。
公式
上面是个实例，但我们也可以用字母和符号来写一个一般通用的公式：
（看到和上面的计算是一样的吗？PV = ￥1,000、 r = 0.10, n = 5、 FV = ￥1,610.51）
这是另一个写法，"FV" 在左边：
FV = PV × (1+r)n
其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率
n = 期数
 |
这就是复利的基本公式。 它非常重要，值得牢记。 |
例子
我们现在来看一些例子……
……
如果年期是 15年呢？……改变 "n" 的值：
……如果年期是 5年，而利率是 6% 又怎么样？
| 我们把 6% 代入公式:: |
 |
……20年，8%？你自己来！
"反过来"求现值
假设你想在 5年后得到 ￥2,000，利率是 10%。你现在始要投资多少钱？
换句话说，你已知道终值，现在你想求现值。
我们知道把现值（PV）乘以 (1+r)n 就可以得到终值（FV），所以我们反过来用除法：
因此，公式是：
PV = FV / (1+r)n
答案是：
PV = ￥2,000 / (1+0.10)5 = ￥2,000 / 1.61051 = ￥1,241.84
就是说，￥1,241.84 的投资，利率为 10%，5年后会增长到 ￥2,000。
再举个例：年利率是 8%，你现在要投资多少钱才能在 10年后得到 ￥10,000？
PV = ￥10,000 / (1+0.08)10 = ￥10,000 / 2.1589 = ￥4,631.93
所以，投资￥4,631.93，年利率为 8%，10年后就是 ￥10,000
复利计算期
复利不一定是每年计算，计算期也可以是每月、每日等等。如果不是每年计算就应该清晰地写出来！
例子：你借了 ￥1,000，年期是 12个月，利率是 "每月 1%"，到期时你要还多少钱？
用终值的公式，以 "n" 为月数：
FV = PV × (1+r)n = ￥1,000 × (1.01)12 = ￥1,000 × 1.12683 = ￥1,126.83 = 需要还的款项
也可以是年利率，但一年里计算几次利息。这个安排称为 定期复利。
例子：6% 年利率，"按月计算利息"。这不代表每个月的利率是 6%，它的意思是每个月 0.5%（6% 除以 12个月），算法是这样：
FV = PV × (1+r/n)n = ￥1,000 × (1 + 6%/12)12 = ￥1,000 × (1.005)12 = ￥1,000 × 1.06168…… = ￥1,061.68 = 需要还的款项
实际年利率是 6.168% （￥1,000 增加到 ￥1,061.68）。
所以一定要小心去了解借贷的条款！
APR （年度百分率）
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房贷广告通常都相当复杂（有时是故意复杂的！），时常你会看到 "APR" （年度百分率）。 APR 就是 "年度百分率"…… 它的意思是你一年里实际上要支付多少 （包括复利、其他收费等等）。 |
| 其实是 6.335% | |
一些例子：
例子："1% 月利率" 实际上等于 12.683% APR（没有其他收费）。
并且：
例二："6% 年利率，按月计算复利" 等于 6.168% APR（没有其他收费）。
如果你要比较，就比较 APR（年度百分率）。
歇会儿！
到目前为止，我们学习了用 (1+r)n 来把现值（PV）与终值（FV）互相转换，也学习了贷款利息的一些细节。
上半场完了！我们休息一下。等会儿我们还有两个课题：
- 求利率，如果已知现值、终值和期数。
- 求期数，如果已知现值、终值和利率
求利率
如果你知道现值、终值和期数，你就可以求利率。
例子：你有 ￥1,000，你想它在 5年后增长到 ￥2,000，你需要的利率是多少？
公式是：
r =（FV / PV）1/n − 1
 |
注意："1/n" 是个 分数指数，先计算 1/n，然后把结果作为指数输入计算器。 例如，20.2 是这样输入的：2，"x^y"， 0，.， 2，= |
我们只需要"代入"数值来得到答案：
r =（￥2,000 / ￥1,000）)1/5 − 1 =（2）0.2 − 1 = 1.1487 − 1 = 0.1487
0.1487 就是 14.87%，
所以你需要 14.87% 的利率来把 ￥1,000 在 5年后变成 ￥2,000。
再举个例：把 ￥1,000 在 20年后变成 ￥5,000 的利率是多少？
r =（￥5,000 / ￥1,000）1/20 − 1 =（5）0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838
0.0838 就是 8.38%。
所以 8.38% 在 20年后会把 ￥1,000 变成 ￥5,000。
求期数
如果你知道终值、现值和利率，你就可以求期数。
例子：利率是 10%，你想知道需要多少期来把 ￥1,000 变成 ￥2,000。
公式是（注意：公式用了自然对数函数 ln）：
n = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
 |
好计算器都会有 "ln" 函数功能。 你也可以用 log，但不能两个一起用。 |
我们 "代入" 数值：
n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27
真神奇！如果利率是 10%，我们需要 7.27年 来把 ￥1,000 变成 ￥2,000。
再举个例：利率是 5%，把 ￥1,000 变成 ￥10,000 需要多少年？
n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19
47年！这不稀奇，因为金额大了十倍，而利率只有 5%。
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计算器我做了个复利计算器使用这些公式做运算。 |
总结
复利的基本公式是：
| FV = PV (1+r)n | 求终值，其中： |
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| 重排这个公式（见导出复利公式），我们便可以从已知任何三个去求第四个变量： | |
| PV = FV(1+r)n | 求现值，已知终值、利率和期数。 |
| r = (FV/PV)(1/n) − 1 | 求利率，已知现值、终值和期数。 |
| n = ln(FV / PV)ln(1 + r) | 求期数，已知现值、终值和利率（注意：ln 是 自然对数函数） |
年金
到目前为止，我们都是看一个数值怎样随着时间改变……但如果有一系列的数值，例如 定期还款或年度投资呢？你可以去年金页面了解这些课题.