对数入门

在最简单的层面,对数解答以下问题:

多少个既定的数相乘会等于另一个数?

例子:多少个 2 相乘会等于 8

答案:2 × 2 × 2 = 8,所以需要把 32 相乘来得到 8

所以对数是 3

怎样写

我们这样写"3个2相乘的积为8":

log2(8) = 3

 

所以这两个是相同的:

对数概念 2x2x2=8 与 log_2(8)=3 相同

相乘的数叫 "底",而对数的符号是 "log",所以我们可以说:

请留意,这牵涉到三个数:

更多例子

例子: log5(625) 是多少?

问题是 "需要多少个 5 相乘,来得到 625?"

5 × 5 × 5 × 5 = 625,所以需要4 个 5

答案:log5(625) = 4

例子:log2(64) 是多少?

问题是 "需要多少个 2 相乘,来得到 64?"

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64,所以需要 6 个 2

答案:log2(64) = 6

指数

指数与对数是有关联的。我们来看看。。。。。。

2的立方

指数的意思是用多少个数和自己相乘。

在这例子里:23 = 2 × 2 × 2 = 8

(3 个 2 乘在一起的积是 8)

所以对数解答这样的问题:

2 的什么指数 = 8

这样去解答:

2^3=8 成为 log_2(8)=3

对数告诉我们指数是多少!

在这例子, "底" 是 2, "指数" 是 3:

2^3=8 成为 log_2(8)=3

故此,对数解答这问题:

需要什么指数
(把一个数变成另一个数)

一般的情形是:

a^x=y 成为 log_a(y)=x

例子:log10(100) 是多少?

102 = 100

指数需要等于 2,方可把 10变成 100,所以:

log10(100) = 2

例子:log3(81) 是多少?

34 = 81

指数需要等于 4,方可把 3 变成 81,所以:

log3(81) = 4

 

常用对数:底为 10

有时候写对数时,底是不写的:

log(100)

通常这代表底是 10

对数

这叫 "常用对数"。工程师时常用常用对数。

在计算器上是 "log" 键。

意思是需要多少个 10 相乘来得到一个数。

例子:log(1000) = log10(1000) = 3

 

自然对数: 底为 "e"

另一个时常用的底是 e(欧拉数),大约的值是 2.71828。

计算器 ln 键

这叫 "自然对数"。数学家时常用自然对数。

在计算器上是 "ln" 键。

意思是需要多少个 "e" 相乘来得到一个数。

例子:ln(7.389) = loge(7.389) ≈ 2

因为 2.718282 ≈ 7.389


可是,有时会引起混淆。。。。。。!

数学家用 "log" (而不是 "ln")来代表自然对数。这便会引起混淆:

例子 工程师演绎 数学家演绎  
log(50) log10(50) loge(50) 混淆
ln(50) loge(50) loge(50) 没混淆
log10(50) log10(50) log10(50) 没混淆

所以当你看见 "log" 时,必须找出底是多少!

 

对数可以是小数

以上的例子里的对数全是整数(像2或3),但对数可以是小数,像 2.5 或 6.081等等

例子:log10(26)是多少?

对数

26 打进计算器,按 log

答案是: 1.41497。。。。。。

这对数的意思是 101.41497。。。。。。 = 26
(10 的指数为 1.41497。。。。。。 等于 26)

在图上像这样:

很漂亮的图,对不?

  log 26 以10为底

对数可以是小数了解更多。

负对数

负?对数是基于乘法。
那么,乘的相反是什么?除!

负对数的意思是需要除以一个数多少次。

可以只除一次:

例子:log8(0.125)是多少?

1 ÷ 8 = 0.125

所以 log8(0.125) = −1

也可以除很多次:

例子:log5(0.008)是多少?

1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5−3,

所以 log5(0.008) = −3

这是合情合理的

乘和除是属于同一个简单的规律。

我们来看看一些以10为底的对数:

  多少个 10 对数(以10为底)
大/小10倍 。。。等等。。。      
1000 1 × 10 × 10 × 10 log10(1000) = 3
100 1 × 10 × 10 log10(100) = 2
10 1 × 10 log10(10) = 1
1 1 log10(1) = 0
0.1 1 ÷ 10 log10(0.1) = −1
0.01 1 ÷ 10 ÷ 10 log10(0.01) = −2
0.001 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 log10(0.001) = −3
。。。等等。。。      

留心看这列表,注意到正、零和负对数全都是属于同一个(相当简单的)规律。

 

英语 "Logarithm"

对数的英语 "Logarithm" 为苏格兰数学家约翰·奈皮尔(公元1550-1617)所创,源自希腊字 logos,意思是"比例或字";而 arithmos 的意思是 "数"。。。。。。合成一个字就是 "比例数"!