指数与对数

什么是指数?

2 指数 3  

一个数的指数代表把多少个
这个数 乘在一起。

例子: 23 = 2 × 2 × 2 = 8

(3个 2 乘在一起得到 8)

什么是对数?

对数与指数相反。

它是这个问题的答案:"什么指数会得到这个结果?":

对数问题

这问题的答案是:

指数到对数

用以上的例子:

对数的意思是: 用几个 数与自己乘在一起会得到另一个数

所以对数的答案是指数:

对数概念

(去这里看看指数、根和对数的关系。)

一起用

指数与对数时常用在一起,因为它们的效果是"相反"的(但底"a"要相同):

指数与对数

指数与对数互为"反函数"

先做一个,然后做另一个,就还原了:

但光看名字不能猜到它们是相反的……

你可以这样想:ax  "向上",loga(x)  "向下":

无论如何,重点是:

指数函数可以"还原"对数函数的效果。.

(反过来也一样)

看这个例子:

举例: log3(x) = 5x 是什么?

我们可以用以3为底的指数来"还原"对数:

开始   log3(x) = 5
     
我们想"还原"对数以得到 "x ="
     
每边都用指数函数:   3^(log3(x))=3^5
     
我们知道3^(log3(x))=x,所以:   x = 35
     
答案:   x = 243

再来一个:

例子:y=log4(1/4),求 y

开始   y=log4(1/4)
     
每边都用指数函数:   4^y=4^( log4(1/4) )
     
简化:   4y = 1/4
     
小窍门:1/4 = 4-1
     
所以:   4y = 4-1
     
故此:   y = -1

对数的特性

对数的其中一个强大功能是把乘变成加

loga( m × n ) = logam + logan

"乘的对数是对数的和"

为什么是这样?看附注

用这特性和指数定律,我们得到以下有用的特性:

loga(m × n) = logam + logan 乘的对数是对数的和
   
loga(m/n) = logam - logan 除乘的对数是对数的差
   
loga(1/n) = -logan 这是以上"除"特性的结果,因为 loga(1) = 0
   
loga(mr) = r ( logam ) m的r次幂 的对数 是 r 和 m的对数 的积
   

记着:底 "a" 一定要相同!

对数书历史: 以前没有计算器时,对数非常有用……例如,要乘两个很大的数,你可以用对数来把乘变为加(容易得多!)

以前甚至有专门为此而设的对数表书。

我们来玩玩:

例子:简化 loga( (x2+1)4√x )

开始:   loga( (x2+1)4√x )
     
loga(mn) = logam + logan   loga( (x2+1)4 ) + loga( √x )
     
loga(mr) = r ( logam ) :   4 loga(x2+1) + loga( √x )
     
同时 √x = x½ :   4 loga(x2+1) + loga( x½ )
     
再用 loga(mr) = r ( logam )   4 loga(x2+1) + ½ loga(x)

不能再简化下去了……不能简化这个:loga(x2+1).

 

答案:4 loga(x2+1) + ½ loga(x)

注意:没有处理 loga(m+n) loga(m−n)的规则

我们也可以"反过来"用对数的特性来组合对数:

例子:把loga(5) + loga(x) loga(2) 变成一个对数:

开始:   loga(5) + loga(x) − loga(2)
     
loga(mn) = logam + logan :   loga(5x) − loga(2)
     
loga(m/n) = logam − logan :   loga(5x/2)

 

答案:loga(5x/2)

自然对数和自然指数函数

底是e("欧拉数" = 2.718281828459……)的对数叫:

它们仍然可以互相还原:

ln(ex) = x

e(ln x) = x

这是它们的图:

自然对数

 

自然指数函数

自然对数函数   自然指数函数
f(x) = ln(x)的图  
f(x) = ex的图

穿过 (1,0)(e,1)

 

穿过 (0,1)(1,e)

ln(x) 和 e^x

它们是同一条曲线,不过x轴 和 y轴 对调了

这也显示出它们是反函数。

计算器 ln 键  

在计算器上,自然对数是 "ln" 键。

你应该尽量使用自然对数和自然指数函数。

常用对数

底是10的对数叫:

工程师时常用到它,但数学里很少用。

calculator log button  

在计算器上,常用对数是 "log" 键。

它的有用之处是告诉你数在十进制里 "有多大"(你要乘几个10)。

例子:计算 log10 100

10 × 10 = 100,所以2个 10乘在一起的积是 100:

log10 100 = 2

同样, log10 1,000 = 3,log10 10,000 = 4,依此类推。

例子:计算 log10 369

这个最好用计算器的 "log" 键:

log10 369 = 2.567……

改变底

如果我们想改变对数的底呢?

容易!用这个公式:

对数变底

"x 增大,a 减小"

你也可以把 logb a 作为 "转换因数"(公式如上):

loga x = logb x / logb a

用这个公式,我们可以转换为任何的底。

另一个有用的特性是:

loga x = 1 / logx a

看到 "x" 和 "a" 换位吗?

例子:计算 1 / log8 2

1 / log8 2 = log2 8

2 × 2 × 2 = 8,所以3个 2乘在一起的积是 8:

1 / log8 2 = log2 8 = 3

 

我们常用自然对数,所以最好记着:

loga x = ln x / ln a

 

例子:计算 log4 22

 

计算器 ln 键

我的计算器没有 "log4" 键……

……但它有 "ln" 键。我们来用它:

 

log4 22 = ln 22 / ln 4 = 3.09.../1.39... = 2.23 (保留三位小数)

 

这答案的意思是什么?它的意思是 4的2.23次幂等于22。我们来检测:

检测:42.23 = 22.01(差不多了!)

再来一个例子:

例子:计算 log5 125

log5 125 = ln 125 / ln 5 = 4.83.../1.61... = 3 (绝对精确)

 

我知道 5 × 5 × 5 = 125(3个 5 的积是 125),所以答案应该是 3。对了!

现实应用

在现实世界里应用对数的实例:

地震

地震的振幅是以对数尺度显示。

著名的"里氏地震规模"用这个公式:

M = log10 A + B

其中: A 是地震仪测量的振幅(单位为毫米)
B 是距离校正系数

现今有更复杂的公式,但都是用对数尺度。

声音

响度的单位是分贝(简写为dB):

响度(dB) = 10 log10 (p × 1012)

其中 p 是声压

酸性的或碱性的

酸性(或碱性)的测量单位是 pH:

pH = −log10 [H+]

其中 H+ 是溶解的氢离子的摩尔浓度。
注意:在化学, [ ] 代表摩尔浓度(克/升)。

更多例子

例子:解 2 log8 x = log8 16

开始:   2 log8 x = log8 16
     
把 "2" 带进对数::   log8 x2 = log8 16
     
拿走对数(对数的底相同):   x2 = 16
     
解:   x = −4 or +4
     

可是……可是……可是……不能有负数的对数!

所以 −4 的解是未定义的

答案:4

检验:用计算器来检验……也用 "-4"来试试看。

例子:解 ew = e2w+6

开始:   e−w = e2w+6
     
每边取 ln   ln(e−w) = ln(e2w+6)
ln(ew)=w   −w = 2w+6
     
简化:   −3w = 6
解:   w = 6/−3 = −2
     

答案:w = 2

检验:e−(−2)= e2 and e2(−2)+6=e2

 

附注:为什么 log(m × n) = log(m) + log(n)

要知道为什么,我们需要用a^(log a (x)) and Log a (a^x):

首先把 mn 变成 "对数的指数":  
对数积规则

 

然后用指数定律

最后把指数还原。

这是数学里时常用到的"高招":"这里做不行,我们就去那边做,然转换回来"