指数与对数

什么是指数？

一个数的指数代表把多少个 这个数 乘在一起。 例子： 23 = 2 × 2 × 2 = 8 （3个 2 乘在一起得到 8）

什么是对数？

对数与指数相反。

它是这个问题的答案："什么指数会得到这个结果？"：

这问题的答案是：

用以上的例子：

• 指数用 2 和 3 来得到 8 （2乘3次为8）
• 对数用 2 和 8 来得到 3 （2 成为 8，当把3个2乘在一起时）

所以对数的答案是指数：

（去这里看看指数、根和对数的关系。）

一起用

指数与对数时常用在一起，因为它们的效果是"相反"的（但底"a"要相同）：

指数与对数互为"反函数"

先做一个，然后做另一个，就还原了：

但光看名字不能猜到它们是相反的……

你可以这样想：a^x  "向上"，log_a(x)  "向下"：

• 向上走，然后向下走，你回到原处：向下(向上p(x)) = x，
• 向下走，然后向上走，你回到原处：向上(向下(x)) = x

无论如何，重点是：

看这个例子：

再来一个：

对数的特性

对数的其中一个强大功能是把乘变成加。

为什么是这样？看附注。

用这特性和指数定律，我们得到以下有用的特性：

loga(m × n) = logam + logan	乘的对数是对数的和
loga(m/n) = logam - logan	除乘的对数是对数的差
loga(1/n) = -logan	这是以上"除"特性的结果，因为 loga(1) = 0
loga(mr) = r ( logam )	m的r次幂 的对数 是 r 和 m的对数 的积

记着：底 "a" 一定要相同！

我们来玩玩：

我们也可以"反过来"用对数的特性来组合对数：

自然对数和自然指数函数

底是e（"欧拉数" = 2.718281828459……）的对数叫：

它们仍然可以互相还原：

ln(e^x) = x

e^{(ln x)} = x

这是它们的图：

自然对数		自然指数函数
f(x) = ln(x)的图		f(x) = ex的图
穿过 (1,0) 和 (e,1)		穿过 (0,1) 和 (1,e)

它们是同一条曲线，不过x轴 和 y轴 对调了。

这也显示出它们是反函数。

在计算器上，自然对数是 "ln" 键。

你应该尽量使用自然对数和自然指数函数。

常用对数

底是10的对数叫：

常用对数 log₁₀(x)，有时写为 log(x)

工程师时常用到它，但数学里很少用。

在计算器上，常用对数是 "log" 键。 它的有用之处是告诉你数在十进制里 "有多大"（你要乘几个10）。

改变底

如果我们想改变对数的底呢？

容易！用这个公式：

"x 增大，a 减小"

你也可以把 log_b a 作为 "转换因数"（公式如上）：

用这个公式，我们可以转换为任何的底。

另一个有用的特性是：

看到 "x" 和 "a" 换位吗？

 

我们常用自然对数，所以最好记着：

 

再来一个例子：

现实应用

在现实世界里应用对数的实例：

地震

地震的振幅是以对数尺度显示。

著名的"里氏地震规模"用这个公式：

M = log₁₀ A + B

其中： A 是地震仪测量的振幅（单位为毫米）
B 是距离校正系数

现今有更复杂的公式，但都是用对数尺度。

声音

响度的单位是分贝（简写为dB）：

响度（dB） = 10 log₁₀ (p × 10¹²)

其中 p 是声压

酸性的或碱性的

酸性（或碱性）的测量单位是 pH：

pH = −log₁₀ [H⁺]

其中 H⁺ 是溶解的氢离子的摩尔浓度。
注意：在化学， [ ] 代表摩尔浓度（克／升）。

更多例子