阶乘！

例子：4! 是 4 x 3 x 2 x 1 的简写

阶乘符号

阶乘函数（符号：!）的意思是把逐一减小的自然数序列相乘。例如：

  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
  • 1! = 1

4! 的读法是 "4 的阶乘"

从上一个值计算

要计算一个阶乘的值，我们可以用上一个阶乘的值：

n n!    
1 1 1 1
2 2 × 1 = 2 × 1! = 2
3 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6
4 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24
5 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 120
6 等等 等等  

例子：9!=362,880。那么 10! 是多少？

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362,880 = 3,628,800

所以规则是：

n! = n × (n−1)!

就是说，"任何数的阶乘是那个数乘以比那个数少一的数的阶乘"。所以 10! = 10 × 9!，…… 125! = 125 × 124!，依此类推。

那么 "0!" 是多少？

零的阶乘很有趣……一般惯例都是 0! = 1。

有趣的是，我们没有把任何数相乘，但常规是零的阶乘等于一，这也会简化很多方程式。

在什么领域会用到阶乘？

阶乘可以应用在数学里的很多领域，尤其是组合与排列

例子： 7! / 4! 是多少？

我们把整个公式写下来；

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 7 × 6 × 5 = 210
4 × 3 × 2 × 1

 

很奇妙！4 × 3 × 2 × 1 "约去" 了，剩下 7 × 6 × 5

阶乘小列表

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
16 20,922,789,888,000
17 355,687,428,096,000
18 6,402,373,705,728,000
19 121,645,100,408,832,000
20 2,432,902,008,176,640,000
21 51,090,942,171,709,440,000
22 1,124,000,727,777,607,680,000
23 25,852,016,738,884,976,640,000
24 620,448,401,733,239,439,360,000
25 15,511,210,043,330,985,984,000,000

增长得很快！

要知道更多，去用全精度计算器。

趣事

六个星期大约是 10!秒（=3,628,800）

六星期有多少秒：   60 × 60 × 24 × 7 × 6
分解为因数：   (2 × 3 × 10) × (3 × 4 × 5) × (8 × 3) × 7 × 6
重排：   2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 3 × 3 × 10
就是：   2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

 

扑克牌可以洗成 52!个不同组合。

就是 8.065817517094…… × 1067

比已知宇宙里的基本粒子还要多。

洗一副扑克牌，结果很有可能是有史以来第一次出现的！

 

70! 大约是 1.1978571669969891796072783721 x 10100，稍大于一古戈尔（1 后面加一百个零）。

100! 大约是 9.3326215443944152681699238856 x 10157

200! 大约是 7.8865786736479050355236321393 x 10374

 

高级课题

小数的阶乘？

可以计算 0.5 或 -3.217 的阶乘吗？

可以！我们需 "伽玛函数"，一个比很深奥的课题，在这里不再描述了。

一半的阶乘

例如，一半的阶乘 (½) 是 圆周率（π）的平方根的一半 = (½)√π。所以一些 "半整数" 的阶乘是：

n n!
(-½)! √π
(½)! (½)√π
(3/2)! (3/4)√π
(5/2)! (15/8)√π

这个规则还是成立的："任何数的阶乘是那个数乘以比那个数少一的数的阶乘"，因为

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

现在你来算算，(7/2)! 是多少？

 

 
组合与排列 数索引