集合与维恩图

集合

集合是收集起来的一些东西。

例如，穿在身上的东西是个集合：鞋子、袜子、帽子、衬衫、裤子等等。

描述集合的方法是把东西放在大括号里：

{袜子，鞋子，腕表，衬衫，…}

也可以有数集：

• 整数集：{0, 1, 2, 3, …}
• 质数集：{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}

十个好朋友

十个好朋友的集：

• {阿力, 小白, 卡卡, 小狄, 艾伦, 成成, 兰子, 老韩, 大牛, 翠翠}

每个朋友是集的 "元素"（也称为 "成员"）。我们通常用小写英语字母来代表元素。

 

假设阿力, 卡卡, 小狄和老韩踢足球：

足球 = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩}

（就是说，集 "足球" 的元素是阿力、卡卡、小狄和老韩。）

 

卡卡、小狄和翠翠打网球：

网球 = {卡卡, 小狄, 翠翠}

 

我们把他们的名字放在两个圆里：

并集

从这两个图，你可以写下谁踢足球或打网球。

这叫集的 "并集"，符号是 ∪：

足球 ∪ 网球 = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩, 翠翠}

不是每个人都在这个集里 …… 只是踢足球或打网球（或两样都打）的朋友。

我们可以用个 "维恩图" 来显示这个关系：

维恩图：两个集的并集

维恩图是个高明的图，可以显示很多信息：

交集

"交集" 是两个集里都在的元素。

在这个例子中就是踢足球并且打网球的 …… 就是卡卡和小狄。

交集的符号是倒转的大写英语字母 "U"：∩

这是记法：

足球 ∩ 网球 = {卡卡, 小狄}

用维恩图来表达：

维恩图：两个集的交集

 

差集

也可以把两个集 "相减"。

例如，从足球里减去网球就是找只踢足球但不打网球的人 …… 就是阿力和老韩.

记法是：

足球 − 网球 = {阿力, 老韩}

用维恩图来表达就是：

维恩图：两个集的差集

暂停：目前结论

∪是并集：在任何一个集里
∩是交集：一定要都在两个集里
−是差集：在一个集里但不在另一个集里

三个集

也可以画 3个集的维恩图。

假设第三个集是 "排球"。小狄、兰子和翠翠打排球：

排球 = {小狄, 兰子, 翠翠}

我们用 "数学" 语言来写，以大写英语字母来代表这三个集：

• S 代表踢足球的人的集
• T 代表打网球的人的集
• V 代表打排球的人的集

维恩图像这样：

3个集的并集：S ∪ T ∪ V

从维恩图可以看到：

• 小狄踢足球、打网球、并且打排球
• 翠翠打网球并且打排球
• 阿力和老韩踢足球，但不打网球，也不打排球
• 没有人只打网球

我们更具体地看看并集和交集 ……

这是集 S

S = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩}

 

这是集 T 和 集 V 的并集

T ∪ V = {卡卡, 小狄, 翠翠, 兰子}

 

这是集 S 和集 V 的交集

S ∩ V = {小狄}

来看这个 ……

• 从上面的 S ∩ V
• 减去 T：

这是集 S 和集 V 的交集减集 T

(S ∩ V) − T = {}

什么都没有！

就是 "空集"。还是个集，所以用大括号，但里面什么都没有：{}

空集没有元素：{}

全集

全集是什么元素都有的集。不是真的什么都有。是在我门目前有兴趣的东西里什么都有。

在这个例子中，全集是全部十个朋友。

U = {阿力, 小白, 卡卡, 小狄, 艾伦, 成成, 兰子, 老韩, 大牛, 翠翠}

用维恩图来表达就是在外面的一个框：

这个维恩图很清楚地显示了十个朋友及他们做（或不做）的球类运动。

我们可以从全集减去踢足球的人：

这样写：

U − S = {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}

就是说："全集减足球集是集 {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}"

换句话说： "所有不踢足球的人"。

补集

"所有不是" 也有个特别名词，叫 "补集"（也称 "余集"）.

记法是上标大写英语字母 "C"：

S^c

意思是"所有不在 S 里的"：

S^c = {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}
（和上面的 U − S 例子一摸一样）

 

总括

∪是并集：在任何一个集里
∩是交集：一定要都在两个集里
−是差集：在一个集里但不在另一个集里
A^c是 A 的补集（也叫余集）：所有不在 A 里的东西
空集：没有元素的集。记法是 {}
全集：我们目前有兴趣的所有东西