e(欧拉数)

数字 e 是个有名的无理数,它是数学里最重要的数字之一。

首几个数位是:

2.7182818284590452353602874713527(无穷继续……)

通常称为欧拉数,以莱昂哈德·欧拉命名。

e 是自然对数的底(由約翰·納皮爾发明)。

e 出现在很多数学领域里,所以了解它是很有用的。

计算

有很多计算 e 的值的方法,但没有方法可以计算绝对精确的值,因为 e 是个无理数(不是两个整数的比).

但我们知道它精确到一万亿个小数位的值!

例如,当 n 越来越大时,(1 + 1/n)n 的值越来越趋近 e

(1+1/n)^n 的图

n (1 + 1/n)n
1 2.00000
2 2.25000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1,000 2.71692
10,000 2.71815
100,000 2.71827

另一个算法

e 也等于 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ……

I注意:"!" 的意思是 阶乘

首几项的和是:1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2.718055556

你可以去综合计算器试试。

巧记

要记住 e 精确到十位小数的值,记住这英语句子(数每个单词有几个字母):

你也可以记住在 "2.7" 后,"1828" 连续出现两次:

2.7 1828 1828

然后就是等腰直角三角形的内角 45°、90°、45°:

2.7 1828 1828 45 90 45

(记得 e 的值是个很了不起的成就!)

有趣的属性

尝试 "分开然后相乘"

假设把一个数分成相等的部分,然后把所有部分相乘。

例子:把 20 分开为 4份,然后把它们相乘:

每 "份" 是 20/4 = 5

5×5×5×5 = 54 = 625

……问题是,每个部分要多大才可以得到最大的乘积?

例子(续):尝试 5 份:

每"份" 是 20/5 = 4

4×4×4×4×4 = 45 = 1024

好,答案大了!但是,怎样得到最大的答案?

答案:每部分的大小等于 "e"(或尽量接近 e)。

例子:10

10 分开为 3 份是 3.3…… 3.3……×3.3……×3.3……(3.3……)3 = 37.037……
10 分开为 4 等份是 2.5 2.5×2.5×2.5×2.5 = 2.54 = 39.0625
10 分开为 5 等份是 2 2×2×2×2×2 = 25 = 32

最接近 "e" 的数值的乘积最大,这数值是 2.5。

自己来试试,比方用 100 …… 答案是多少?

高级:e 在复利计算里的应用

e 时常在意料不到的地方出现。

例如,计算借贷和投资的连续复利时,需要用到 e

e^r-1

连续复利公式

为什么?

定期复利的公式是:

FV = PV (1+r/n)n

其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率(以小数表示)
n = 期数

期数越来越大时会怎么样?

留意下面两个公式的相似之处:

(1+r/n)n (1 + 1/n)n
复利公式   e(当 n 趋近无穷大)

代入 x = n/r

所以:

(1+r/n)n 变成 (1+(1/x))xr

就是e 的公式(当 n 趋近无穷大时)加上一个指数 r

因此,当 x 趋近无穷大时,(1+(1/x))xr 趋近 er

这就是为什么 e 出现在利息计算里!

超越数

e 也是个超越数 。