复利:定期复利

你也许想先看关于复利的内容。
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复利简介

复利的计算是先计算第一期的利息,把利息加到本金上,然后用新的本金计算下一期的利息,就这样重复下去:

复利 ¥1000、10%=¥100、¥1100、10%=¥110、¥1210、10%=¥121等等

加 10% 利息是等于乘以 1.10
(去这里了解更多)

运算是这样的:

复利 ¥1000 x1.1 ¥1100 x1.1 ¥1210 x1.1 ……

这样乘 5次,我们就可以用指数(幂)来直接计算第五年的金额:

¥1000 x 1.10^5 = ¥1610.51

公式

这是复利的公式(如上,不过用字母表达):

PV x (1+r)^n = FV

例子:投资 ¥1,000,5年,年利率 10%:

现值 PV = ¥1,000

利率是 10%,用小数表达是 r = 0.10

期数 n = 5

PV × (1 + r)n = FV
¥1,000 × (1 + 0.10)5 = FV
¥1,000 × 1.105 = ¥1,610.51

我们可以用这个公式做不同计算,例如利率为 6%:

例子:投资 ¥1,000,5年,年利率6%

现值 PV = ¥1,000

利率是 6%,小数是 r = 0.06

期数 n = 5

PV × (1 + r)n = FV
¥1,000 × (1 + 0.06)5 = FV
¥1,000 × 1.065 = ¥1,338.23

(一年内)

有时候利率是年利率……

……但一年里计算多次利息,每次的利息都加到本金上……

……所以一年也有复利计算.

例子:"10%,半年复利"

半年复利就是一年算两次复利。所以 10% 要分开两半:

但每次都是复利(利息加到本金上):

半年复利
10%,半年复利

一年后的金额是 ¥1,102.等于 10.25%,而不是 10%

两个年利率?

对了,有两个年利率:

  例子  
  10% 名义利率(声明的利率)
     
  10.25% 有效年利率(计算复利后的利率)
     
  有效年利率是实际的利率!

当复利在一年计算时,有效年利率便高于名义利率。

高多少关系于利率的大小和一年内计算复利的次数。

算法

我们现在来导出一个有效年利率的公式,如果我们知道:

我们把利率(例如 10%)分开为 "n" 期来计算复利。

用上面的复利公式我们可以计算 "n" 期的复利:

FV = PV (1+r)n

但是,利率不是 "r",因为要把年利率分开成 "n" 期,像这样:

r / n

复利公式变成:

这是定期复利的公式:

FV = PV (1+(r/n))n

其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率
n = 期数

用上面 "10%,半年复利" 的例子来试试:

FV = ¥1,000 (1+(0.10/2))2 = ¥1,000(1.05)2 = ¥1,000 × 1.1025 = ¥1,102.50

这管用!但我们也需要知道新的利率。我们不想用货币来表达,所以拿走货币符号:

(1+(r/n))n = (1.05)2 = 1.1025

减掉 1 就是利率(0.1025 = 10.25%):

(1+(r/n))n − 1 = 0.1025 = 10.25%

因此,公式是:

有效年利率 = (1+(r/n))n − 1


例子:广告上写的是: "月复利 6%",实际有效年利率是多少?

r = 0.06(6% 的小数)
n = 12

有效年利率 = (1+(r/n))n − 1

= (1+(0.06/12))12 − 1

= (1.005)12 − 1 = 0.06168 = 6.168%

实际利率是 6.168%

例子:7% 年利率,一年计算 4次复利。

r = 0.07(7% 的小数)
n = 4

所以:

FV = PV (1+(0.07/4))4

FV = PV (1+(0.07/4))4

FV = PV (1.0719……)

有效年利率是 is 7.19%

 

你需要记住:

把年利率分开为 "n"期 r / n
   
计算 "n" 次复利: (1+(r/n))n
   
不要忘了减掉 "1" (1+(r/n))n − 1

 

数值表

这是一些数值例子。留意当利率小时,复利没有多大影响,但当利率大时,复利的效果就很大。

复利 计算期   1.00% 5.00% 10.00% 20.00% 100.00%
1   1.00% 5.00% 10.00% 20.00% 100.00%
半年 2   1.00% 5.06% 10.25% 21.00% 125.00%
4   1.00% 5.09% 10.38% 21.55% 144.14%
12   1.00% 5.12% 10.47% 21.94% 161.30%
365   1.01% 5.13% 10.52% 22.13% 171.46%
... ……            
连续 无穷   1.01% 5.13% 10.52% 22.14% 171.83%

连续?

对!当复利计算期越来越小(时、分等),最后就会趋近一个极限。我们甚至可以算出一个连续复利的公式:

e^r - 1

连续复利公式
注意: e=2.71828……是欧拉数

例子:

连续复利,年利率 20%: e0.20 − 1 = 1.2214…… − 1 = 0.2214……

应用

知道怎样计算有效年利率的公式(定期或连续)后,我们便可以做任何正常的复利计算。

例子:¥10,000,连续复利 2年,8%

连续复利 8%是:e0.08 − 1 = 1.08329…… − 1 = 0.08329……

就是 8.329%

我们要做 2年的计算(见复利):

FV = PV × (1+r)n

FV = ¥10,000 × (1+0.08329)2

FV = ¥10,000 × 1.173511... = ¥11,735.11

 

结论

有效年利率 = (1+(r/n))n − 1
 

其中:

  • r = 名义利率(声明的利率)
  • n = 计算复利期数(例子:月复利=12))